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1、12.3非标准灰矩阵博弈过程分析12.2节研究了标准灰矩阵博弈问题,对于一个有纯策略解的标准灰矩阵博弈问题,我们可以方便地求出它的解.然而,对于一个非标准的灰矩阵博弈问题,其中：为局中人1的策略集,为局中人2的策略集,为局中人事先判断的非标准灰损益值矩阵(见式12.3.1),如何求出的解呢?本节我们将主要讨论这种非标准的灰矩阵博弈问题.(12.3.1)一、不可判定灰数的标准化拆分由于非标准灰博弈矩阵与标准灰博弈矩阵的差别在于:在中不存在最小和最大可判定灰数.因此,为了便于对非标准灰矩阵博弈问题的研究,在这里我们首先研究不可判定灰数的拆
2、分问题.定义12.3.1在某灰数集合中,若存在这样的不可判定灰数,该灰数的左(右)端点值()是该集合中所有灰数左(右)端点()()中的最小(大)值.则,我们称该灰数为该集合中左(右)端点最小(大)的不可判定灰数.定义12.3.2若某灰矩阵博弈中,各局中人所使用的策略不是标准灰博弈策略,即他们的博弈损益值矩阵的某个(些)行(列)中,不存在最小(大)可判定灰数,或在中各行(列)最小(大)灰数集合中不存在最大(小)可判定灰数;则称该灰矩阵博弈为非标准灰矩阵博弈,记为:,其中:为局中人1的策略集,为局中人2的策略集,为事先判断的局中人1的非标
3、准灰损益值矩阵.由定义12.3.2可知,非标准灰矩阵博弈与标准灰矩阵博弈区别在于:在和的博弈中,局中人分别使用的是非标准博弈策略和标准化博弈策略.在中,的某一(些)行(列)中,不存在最小(大)可判定灰数,或在由中各行(列)最小(大)灰数构成的集合中不存在最大(小)可判定灰数.定义12.3.3任给两个不可判定灰数,若我们可以将他们拆分为若干个灰数.使得拆分后的灰数两两之间或者重合,或者其交集除端点外是空集,则我们称这样的拆分为这两个不可判定灰数的标准化拆分.定理12.3.1任意两个不可判定灰数皆可进行标准化拆分.证明:不失一般性,不妨设
4、灰博弈矩阵中存在两个不可判定灰数(;).该两灰数的交集可被分成两种情况来考虑.6………(12.3.2)图12.3.2的关系示意图[][],i=i,j≠k,j[]图12.3.1的关系示意图[][][],i=i,j≠k,j情况1:当时,这两个不可判定灰数的交集情况如图12.3.1和12.3.2所示.图12.3.1和12.3.2中,[],i=i,j≠k,j表示式12.3.2的第行中除灰数()之外的其余灰数[]()的交集.图12.3.3的关系示意图[][][],i=i,j≠k,j图12.3.4的关系示意图[][][],i=i,j≠k,j情况2
5、:当时,这两个不可判定灰数的交集情况如图12.3.3和12.3.4所示.图12.3.3和12.3.4中,[],i=i,j≠k,j表示式12.3.2的第行中除灰数()之外的其余灰数[]()的交集.1)在图12.3.1中,区间灰数的端点满足以下关系:.此时,灰数被分解为除端点外其交集为空集的两个灰数和；灰数被分解为除端点外交集为空集的两个灰数和.这样不可判定灰数可被拆分为四个灰数,和.这四个灰数两两之间或者重合,或者其交集除端点外是空集.2)在图12.3.2中,区间灰数的端点满足以下关系:.此时,灰数被分解为除端点外其交集为空集的三个灰数
6、:,和；灰数没有被分解.这样不可判定灰数灰数可被拆分为四个灰数,6,和.这四个灰数两两之间或者重合,或者其交集除端点外是空集.3)在图12.3.3中,区间灰数的端点满足以下关系:.此时,灰数被分解为除端点外其交集为空集的二个灰数:和；灰数被分解为除端点外其交集为空集的二个灰数:和.这样不可判定灰数灰数可被拆分为四个灰数,,和.这四个灰数两两之间或者重合,或者其交集除端点外是空集.4)在图12.3.4中,区间灰数的端点满足以下关系:.此时,灰数被分解为除端点外其交集为空集的三个灰数:,和；灰数没有被分解.这样不可判定灰数可被拆分为四个灰
7、数,,和.这四个灰数两两之间或者重合,或者其交集除端点外是空集.综上所述,任给两个不可判定灰数,我们可以根据其交集情况,将其拆分为两两之间或者重合,或者其交集除端点外是空集的灰数.即得到了一个标准化拆分.定理12.3.1的构造性证明,说明了任意两个不可判定灰数均可通过定理12.3.1所提供的方法,对它们进行标准化拆分.二、灰博弈策略的标准化我们知道,在非标准灰矩阵博弈中,由于存在左(右)端点最小(大)不可判定灰数,使得我们无法进行纯策略的选择.因此,在这里我们必须对中的非标准博弈策略进行标准化拆分.定义12.3.4对于非标准灰矩阵博弈
8、,若按下述步骤对局中人1的非标准灰博弈策略进行处理;则称这一过程为局中人1的策略标准化.局中人1策略标准化的步骤如下:第一步:检查中各行是否存在最小可判定灰数;若都存在,进行第二步;否则,转到第三步;第二步:检查由各行最
