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1、第十三章基于灰混合策略的灰矩阵博弈我们在基于纯策略的灰矩阵博弈模型中已经研究过纯策略意义下灰矩阵博弈问题的解、解的性质、求解方法,以及标准和非标准灰矩阵博弈问题之间相互关系及其相互转换问题.但是,并不是所有的灰矩阵博弈问题都有灰鞍点.在灰鞍点不存在的情况下,局中人不是选取某一个策略,而是分别以一定的灰区间概率来选取某个策略,这就是基于灰混合策略的灰矩阵博弈问题.在基于灰混合策略的灰矩阵博弈问题研究中,需要用到灰事件、灰区间概率等概念及其性质.本节,我们首先对这些问题进行简要阐述.13.1灰矩阵博弈的灰混合策略一、灰事件与灰区间概率在概率论中,随机事件一般表示为白化数的集合,且集合
2、的边界是清晰的.然而,在灰概率的框架体系之下,事件不能用确定的白化数来描述.为此,我们引入灰事件的概念.定义13.1.1称随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件,简称事件.若S的子集含有灰数,则称样本空间S的灰子集为E的灰随机事件,简称灰事件.在每次试验中,当且仅当这一灰子集中的一个样本点出现时,称这一灰事件发生.灰事件记为.由定义13.1.1可知,灰事件是灰数构成的S的子集,由灰事件所组成的集合其边界是灰色的.事实上,任给一个灰数,我们可以将其表示为如式13.1.1所示的形式.在式13.1.1中,称为的白部,而称为的灰部;在灰部中称为灰系数,称为单位灰数.(13.1.1)灰
3、事件之间的关系和运算性质与普通随机事件类似.人们通常把(为随机实验的次数)时某事件A发生的频率作为事件A发生概率的近似值,并用概率来度量事件A在一次试验中发生的可能性的大小.然而事实上,在现实生活中,由于条件的限制,不可能达到无穷大,这也就是说,只是一种高度抽象的理论值.在对某事件发生的概率进行估计时,可以考虑用某事件在统计时间内可能发生的最小频率和最大频率分别作为其发生的较小可能概率(或称为左概率)和较大可能概率(或称为右概率),左概率和右概率构成了该事件发生的最可能的概率区间,用来表示.我们称为事件A发生的灰区间概率.例13.1.1某地区对其100年来的春季雨量情况分成很少,
4、正常,很大和特大四种情况进行统计,将100年时间,按每20年一组进行分组,共分成5组,如表13.1.1所示.表13.1.1某地区100年来的春季雨量情况统计分类表雨量分类很少正常很大特大次数频率次数频率次数频率次数频率时间分组1∽20100.5050.2530.1520.1021∽4090.4570.3540.2010.0541∽60150.7530.1510.0510.0561∽80100.5080.4010.0510.0581∽100130.6560.3010.0500.00由表13.1.1可知,该地区春季雨量属于很少,正常,很大和特大四种情况的灰区间概率分别为:[0.45,
5、0.65],[0.15,0.40],[0.05,0.20]和[0.00,0.10].在无法确知某事件发生的准确概率及其分布的情况下,我们用某事件发生的最小和最大区间频率来估计该事件发生的概率,要比采用简单的平均值估计方法更为可靠.定义13.1.2在相同条件下,进行组实验,每一组的实验次数均为.在所有的组实验中,选取事件A发生的最少次数和最多次数,分别作为事件A发生之频数的左端点和右端点值,记为,称为事件A发生的灰区间频数(简称灰频数),LA为其左频数,RA为其右频数.区间灰数的比值称为事件A发生的灰区间频率,简称灰频率,并记成,其中:.事实上,任一白化的频数可以写成灰区间频数的形
6、式,其中:LA=RA;而其频率则可写成,其中:.由定义13.1.2,易见灰频率具有下述基本性质:1),即:;2)在第组实验中,若K为样本空间,则;3)若是两两互不相容事件,则:.定义13.1.3设E是随机实验,S是它的样本空间,对于E的每一灰事件A赋予一个正实数范围内的区间灰数,记为,称为灰事件的灰区间概率(简称灰概率),如果集合函数满足下列条件:1)对于每一灰事件,有即LA≥0,RA≥0;2)P(S)=1;3)设是两两互不相容事件,即对于则有,(13.1.2)式13.1.2称为灰概率的可列可加性.灰概率具有与经典概率类似的性质.二、灰矩阵博弈的灰混合策略对于标准灰矩阵博弈,若不
7、存在纯策略意义下的解,那么局中人对自己所采用的策略的保密性就十分重要.否则,就会使对手有机可乘.那么,怎样才能使对方无从了解到自己所采用的策略呢?最好的办法就是局中人随机地选择自己的策略.也就是在一局对策中,局中人对纯策略的选择采用某种随机装置来决定,即按一定的灰区间概率来选择各个纯策略.这样以来,局中人对纯策略的选择就变成对各个纯策略的灰区间概率的选择.定义13.1.4对给定的灰矩阵博弈,其中:,,,我们把纯策略集S1,S2所对应的灰概率向量(其中:),(其中:)分别称为局中人
