122标准灰矩阵博弈的纯策略解

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1、12.2标准灰矩阵博弈的纯策略解在上节中，我们构建了严格标准和标准灰矩阵博弈模型，本节主要研究标准灰矩阵博弈模型纯策略解的概念、存在条件及其性质等问题.一、标准灰矩阵博弈纯策略解的概念标准灰矩阵博弈G(®)={S^S2;A(®)}是经典矩阵博弈G={S,,S2M}的推广.因此，我们在定义标准灰矩阵纯策略解的概念吋，考虑仍然采用经典矩阵博弈G的“理智行为”棊本假设，即:在标准灰矩阵博弈6(0)的过程中,如果双方局中人都不想冒险，都不存在侥幸心理，而是考虑到对方必然会设法使白己所得最少这一点，就应该从各H可能出现的最不

2、利的情形小选择一种最为有利的情形作为决策依据.事实上，这也是博弈双方实际上都能接受的一种稳妥的方法.这样，我们就有了标准灰矩阵博弈6(®)纯策略解的概念,见定义12.2.1.定义1221给定标准灰矩阵博弈G(®)={5p52;X(®)},^存在纯策略勺,0厂对应的局势(a..,0”使［a..,,<［q丁,b•了］<,,备］对i=1,2,…，加;;=1,2,•••,«.均成立；则称局势(竹・,0.)为标准灰矩阵博弈在纯策略意义卜•的解.叭心分别称为局屮人1和2的灰色最优纯策略.局中人1的支付［勺了也了］称为标准灰矩阵

3、博弈G(®)={5p52;A(®)}的值，记为VG(®).由定义1221可知，若标准灰矩阵博弈G(®)={S,,52;A(®)}在纯策略意义下有解，则必存在纯策略，它所对应的笫厂行第/列处的灰矩阵博弈值］满足IfJ"J［&・,b.］<［a..,br・］<［a,.，勺・］,i=1,2,…，加;)=1,2,…，儿JJJJJJ称正整数对(厂,7)为灰矩阵聘弈G(®)={S^S2'A(<®)}的灰鞍点.由G(®)={SpS2;A(®)}构成的博弈称为具有灰鞍点的灰矩阵廨弈.因此，灰矩阵博弈在纯策略意义下有解，其灰色损益值短

4、阵A(®)必有灰鞍点•反Z,若灰色损益值矩阵A(®)有灰鞍点(/*,门侧该灰矩阵博弈的解就是灰鞍点7)所对应的最优灰色纯策略勺,,0..所构成的灰局势J"J灰博弈的值VG(®)就是灰损益值矩阵A(®)中灰鞍点(广,.门所对应的第/*行第「列处的元素U•了也了］，它既是灰矩阵A(®)的z*行中最小的灰数同时又是f列中最大的灰数.给定标准灰矩阵博弈G(®)={Sp52;A(®)},设其灰色损益值矩阵方(®)中含有灰元素hij,bij］,满足hijbj既是i行中的最小灰数，同时乂是j列中的最大灰数，则(i,j)即为方(0

5、)的灰鞍点,佝,切］即为灰矩阵方(0)的博弈值.相应的竹为局中人1的灰色最优纯策略,0•为局中人2的灰色最优纯策略,(竹，0广)为灰矩阵廨弈G(®)={5p52;A(®)}的解.例12.2.1某局中人1和2的标准灰博^G(®)={Sl,S2；A(®)}的损益值矩阵如(12.2.1)式所示;且在方@)的笫二行中，灰数［1,2］的取数是一致的.A(®)a~.队0203[-1,1][2,3][3,4][1,2][1,2][4,5](12.2.1)由(1221)式可得表1221的灰矩阵博弈决策表表12.2.1灰炬阵廨弈决策

6、表A02队[-1,1][2,3][3,4]卜1,1]a2[1,2][1,2][4,5][1,2「max[a..,/?..][1,2「[2,3][4,5]由maxminla^by]=minmax[aij,bij]=[a2l,b2l]=[l,2]nJ*知该灰矩阵的博弈值冬(0)=[1,2],灰矩阵博弈G(®)={SpS2M(®)}的解为(色，0

7、)，其中与0i分别是局屮人1和2的灰色最优纯策略.二、标准灰矩阵博弈纯策略解的充要条件及其性质由例1221可知，标准灰矩阵博弈在纯策略意义下有解与灰损益值矩阵広(0)屮的元素满

8、足条件maxming,/%]=minmax[a^,bv)]有肓接关系，其实这一结果具有普遍性.定理12.2.2标准灰矩阵博弈G(®)={SpS2;A(®)}中，A(®)={[67..,Z?..]}为mxn阶灰矩阵,则，maxmin[a^,bj

9、a..,bv<

10、av,勺],即:minbu

11、v；vmin/?..