南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷

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1、南通市2013届高三第一次调研测试数学I参考答案与评分标准（考试时间：120分钟满分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知全集U=R，集合，则▲．答案：．2．已知复数z=(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第▲象限．答案：三．3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是▲．答案：48.4．定义在R上的函数，对任意x∈R都有，当时，，则▲．答案：．5．已知命题：“正数a的平方不等于0”，命题：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则是的▲．（从“逆命题、否命题、

2、逆否命题、否定”中选一个填空）开始结束Yn←1输入x输出xn←n+1x←2x+1n≤3N（第8题）答案：否命题．6．已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为▲．答案：．7．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5与a7的等比中项为▲．答案：．8．已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为▲．答案：．9．在△ABC中，若AB=1，AC=，，则=▲．答案：．10．已知，若，且，则的最大值为▲．答案：－2．11．曲线在点(1，f(

3、1))处的切线方程为▲．答案：．(第12题)O12．如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为▲cm．答案：－1.5．13．已知直线y=ax+3与圆相交于A，B两点，点在直线y=2x上，且PA=PB,则的取值范围为▲．答案：．14．设P(x，y)为函数图象上一动点，记，则当m最小时，点P的坐标为▲．答案：(2，3)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题

4、满分14分)ABCDEFA1B1C1(第15题)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：（1）平面ABC；（2）平面AEF⊥平面A1AD．解：（1）连结．ABCDEFA1B1C1(第15题)因为分别是侧面和侧面的对角线的交点，所以分别是的中点．所以．………………………………………………………3分又平面中，平面中，故平面．………………………………………………6分（2）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，所以．故由，得．………………………………………8分又因为是棱的中点

5、，且为正三角形，所以．故由，得．…………………………………………………………………10分而，平面，所以平面．…………………………………12分又平面，故平面平面．………………………………………………………14分16.（本题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求的取值范围．解：(1)因为，即，所以，即，得．……………………………………………………………………………4分所以，或(不成立)．即,得．…………………………………………………………………7分(2)由．因，…………………

6、………………………………………8分故=．………………………………………11分，故．……………………………14分17.（本题满分14分）ABCD（第17题）P某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿AC折叠后，交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，，．因，故．………

7、……………………2分设，则．因△≌△，故．由，得，．……………………5分（2）记△的面积为，则………………………………………………………………………………………6分，当且仅当∈(1，2)时，S1取得最大值．…………………………………………………………8分故当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好．………………………………………9分（3）记△的面积为，则，．……………………………………………10分于是，．……………………………………………………11分关于的函数在上递增，在上递减．所以当时，取得最大值．……………………………………………………13分故当薄板长为

8、米，宽为米时，制冷效果最好．………………………………………14分18.（本题满分16分）已知数