南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷

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1、南通市2013届高三第一次调研测试数学I参考答案与评分标准(考试时间:120分钟满分:160分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.已知全集U=R,集合,则▲.答案:.2.已知复数z=(i是虚数单位),则复数z所对应的点位于复平面的第▲象限.答案:三.3.已知正四棱锥的底面边长是6,高为,这个正四棱锥的侧面积是▲.答案:48.4.定义在R上的函数,对任意x∈R都有,当时,,则▲.答案:.5.已知命题:“正数a的平方不等于0”,命题:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则是的▲.(从“逆命题、否命题、

2、逆否命题、否定”中选一个填空)开始结束Yn←1输入x输出xn←n+1x←2x+1n≤3N(第8题)答案:否命题.6.已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为▲.答案:.7.若Sn为等差数列{an}的前n项和,S9=-36,S13=-104,则a5与a7的等比中项为▲.答案:.8.已知实数x∈[1,9],执行如右图所示的流程图,则输出的x不小于55的概率为▲.答案:.9.在△ABC中,若AB=1,AC=,,则=▲.答案:.10.已知,若,且,则的最大值为▲.答案:-2.11.曲线在点(1,f(

3、1))处的切线方程为▲.答案:.(第12题)O12.如图,点O为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方向,若振幅为3cm,周期为3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.则该物体5s时刻的位移为▲cm.答案:-1.5.13.已知直线y=ax+3与圆相交于A,B两点,点在直线y=2x上,且PA=PB,则的取值范围为▲.答案:.14.设P(x,y)为函数图象上一动点,记,则当m最小时,点P的坐标为▲.答案:(2,3).二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本题

4、满分14分)ABCDEFA1B1C1(第15题)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是侧面AA1B1B对角线的交点,F是侧面AA1C1C对角线的交点,D是棱BC的中点.求证:(1)平面ABC;(2)平面AEF⊥平面A1AD.解:(1)连结.ABCDEFA1B1C1(第15题)因为分别是侧面和侧面的对角线的交点,所以分别是的中点.所以.………………………………………………………3分又平面中,平面中,故平面.………………………………………………6分(2)因为三棱柱为正三棱柱,所以平面,所以.故由,得.………………………………………8分又因为是棱的中点

5、,且为正三角形,所以.故由,得.…………………………………………………………………10分而,平面,所以平面.…………………………………12分又平面,故平面平面.………………………………………………………14分16.(本题满分14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求角C的大小;(2)若△ABC的外接圆直径为1,求的取值范围.解:(1)因为,即,所以,即,得.……………………………………………………………………………4分所以,或(不成立).即,得.…………………………………………………………………7分(2)由.因,…………………

6、………………………………………8分故=.………………………………………11分,故.……………………………14分17.(本题满分14分)ABCD(第17题)P某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为4米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示,为长方形薄板,沿AC折叠后,交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能,凹多边形的面积最大时制冷效果最好.(1)设AB=x米,用x表示图中DP的长度,并写出x的取值范围;(2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽?(3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?解:(1)由题意,,.因,故.………

7、……………………2分设,则.因△≌△,故.由,得,.……………………5分(2)记△的面积为,则………………………………………………………………………………………6分,当且仅当∈(1,2)时,S1取得最大值.…………………………………………………………8分故当薄板长为米,宽为米时,节能效果最好.………………………………………9分(3)记△的面积为,则,.……………………………………………10分于是,.……………………………………………………11分关于的函数在上递增,在上递减.所以当时,取得最大值.……………………………………………………13分故当薄板长为

8、米,宽为米时,制冷效果最好.………………………………………14分18.(本题满分16分)已知数

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