南通市2013届第一次调研测试数学试卷.doc

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1、南通市2013届高三第一次调研测试数学I15．解：（1）连结．ABCDEFA1B1C1(第15题)因为分别是侧面和侧面的对角线的交点，所以分别是的中点．所以．又平面中，平面中，故平面．（2）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，所以．故由，得．又因为是棱的中点，且为正三角形，所以．故由，得．而，平面，所以平面．又平面，故平面平面．16.解：(1)因为，即，所以，即，得．所以，或(不成立)．即,得．(2)由．因，故=．，故．17.解：（1）由题意，，．因，故．设，则．因△≌△，故．由，得，．（2）记△的面积为，则，当且仅当∈(1，2)时，S1取得最大值．故当薄板长为米，宽

2、为米时，节能效果最好．（3）记△的面积为，则，．于是，．关于的函数在上递增，在上递减．所以当时，取得最大值．故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好．18.解：(1)令n=1，则a1=S1==0．(2)由，即，①得．②②－①，得．③于是，．④③+④，得，即．又a1=0，a2=1，a2－a1=1，所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an=n－1．(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，．所以，(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解．当p≥3，且p∈N*时，<

3、0，故数列{}(p≥3)为递减数列，于是≤<0，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列．19.解：依题设c=1，且右焦点(1，0)．所以，2a==，b2=a2－c2=2，故所求的椭圆的标准方程为．(2)设A(，)，B(，)，则①，②．②－①，得．所以，k1=．分(3)依题设，k1≠k2．设M(,)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得．于是，，．同理，，．当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==．直线MN的方程为，即，亦即．此

4、时直线过定点．当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点．综上，直线MN恒过定点，且坐标为．20.解：（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．（2）命题“若使成立”等价于“当时，有”．由（1），当时，，．问题等价于：“当时，有”．当时，由（1），在上为减函数，则=，故．当时，由于在上为增函数，故的值域为，即．(i)若，即，在恒成立，故在上为增函数，于是，=，不合．(ii)若，即，由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，=，．所以，，与矛盾，不合．综上，得．南通市

5、2013届高三第一次调研测试数学附加题参考答案与评分标准（考试时间：30分钟满分：40分）21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4－1：几何证明选讲ABEFDCO(第21A题)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，F是的中点．求证：（1）；（2）．证明：（1）连，则，又，所以△ABE∽△ADC，所以．∴．……………………………………………………………………………………5分（2）连，∵是的中点，

6、∴．由(1)，得，∴．…………………………………………………10分B．选修4－2：矩阵与变换已知曲线，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线，在矩阵N对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程．解：设A=NM，则A，………………………………………………………3分设是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线上的对应的点为，则，即∴……………………………7分又点在曲线上，∴，即．………………………………10分C．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)．试在曲线C上求一点M

7、，使它到直线l的距离最大．解：曲线C的普通方程是．…………………………………………………………………2分直线l的普通方程是．………………………………………………………………4分设点M的直角坐标是，则点M到直线l的距离是．…………………………………………………7分因为，所以当，即Z)，即Z)时，d取得最大值．此时．综上，点M的极坐标为时，该点到直线l的距离最大．………………………10分注凡给出点M的直角坐标为，不扣分．D．选修4－5：不等式选讲已知且，求的最大值．解：∴,………………………………………………………………2分且，即，,……………………………………………

8、………5分