资源描述：
《多元函数微分学1new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、多元函数微分学多元函数的极限1.求函数的定义域.解二元函数的定义域.由二次根式,得且.2.设,求.解1复合函数.改写,得.于是.解2令.代入化简,得.即.习题(a)已知,求.(b)设,求.3.计算极限.解用一元函数极限的法则与定理.因为,所以.这是型未定式.因为,所以.根据极限存在准则1,.再由函数连续性有=1.4.求证:极限不存在.证选择不同路径(相当于数列或一元函数的子列),证明极限不存在.一种常用的(不是万能的!)路径是沿直线趋向于点.在这里是沿直线趋向于坐标原点.==因为极限值与有关,即沿不同直线趋向于坐标原点时,有不同极限值,所以原极限不存在.91.求证:极限不存
2、在.证选择不同路径,证明极限不存在.例5中的直线路径在这里无效.需要寻找曲线路径.当动点沿抛物线趋向于坐标原点时,有=极限值与有关,原极限不存在.2.研究函数的连续性.解用定义判定连续.根据初等函数的连续性,当时,函数连续.因为,所以函数在坐标原点也连续.当沿着与轴平行的直线趋向于轴上其它的点时,极限不存在.于是这些点是函数的间断点.3.设函数关于自变量连续,又存在常数,使得对于任意两点,有,则函数连续.证用定义判定连续.任意取点.对于任意给定的,由于对于取定的的值,函数关于自变量连续,存在,使得当时,有.取,则当,时,有偏导数与全微分1.设函数,计算.解用定义求偏导数.当
3、时,用导数公式得,.当时,用偏导数定义,得.同理有.2.设函数,则它在坐标原点连续,但没有偏导数.解用定义证连续，求偏导数9因为，函数在所以坐标原点连续。当时,用偏导数定义,得不存在.同理有不存在.1.设函数,计算混合偏导数,其中是自然数.解用乘积导数公式和.=+2.设函数满足不等式,则在坐标原点可微.证用定义判定可微.将坐标原点代入不等式,得.因为根据极限存在准则1,有.同理.记.因为所以.即在坐标原点可微.3.记,则在坐标原点连续,且有偏导数,但是在原点不可微.证用定义判定不可微.易见==.即在坐标原点连续.=同理.最后考虑极限因为沿直线,此极限等于,所以函数原点不可微
4、.复合函数导数公式91.设函数有连续的偏导数,,则函数满足偏微分方程.证证明复合函数满足给定方程.用复合函数导数公式.将这三个等式代入问题中方程的左端即可.2.设函数有连续的偏导数,,求.解复合函数的二阶导数.对求导,得.再对求导,得评述复合函数的偏导数仍然是复合函数.3.设函数有连续的偏导数,求函数所满足的偏微分方程.解求复合函数所满足的方程.将函数分别对,和求导,得和.代入,得.4.设,求.解曲面的参数方程.以原自变量为中间变量,为自变量,用复合函数导数公式.解方程组,得,得.5.设函数由方程确定,其中函数有连续的偏导数,且,则函数满足偏微分方程.证隐函数求导.将问题中
5、方程的两端同时对求导,注意是的函数,得9即.同样对和求导,将三式相加,消去即可.1.设函数有连续的偏导数,且满足函数方程,则称此函数为次齐次函数,求证:次齐次函数满足偏微分方程.证隐函数求导.将函数方程的两端同时对求导,得在此式中取即为所求.切线与切平面1.在曲线上求一点,使得曲线在此点处的切线平行于平面.解参数方程给定的曲线的切线.求导,得,,.根据直线与平面平行条件,有.解方程,得,.得二点,和.2.求证:螺旋线的切线与轴的夹角等于定角.证参数方程给定的曲线.螺旋线的切线的方向向量为,轴正向的方向向量为.它们夹角的方向余弦为是一个常数,于是夹角等于定角.3.求曲线在点处
6、的切线.解1一般方程给定的曲线.切线的对称式方程.记,,对变量求导,得,将点代入,得,.则切线方程.即.解2切线的一般方程.分别求两个曲面在该点的切平面,则其交线就是所求切线.即.4.在曲面上求一点,使得曲面在该点处的切平面与平行.解曲面的切平面.曲面上点处的法向量为,与平面的法向量比较,得.于是,.切平面方程.91.求过直线,且与曲面相切的平面的方程.解求曲面的切平面.过直线的平面束的方程为曲面上点处的切平面的方程为.于是应有其中.解这个方程组可得两个平面和.2.求证:曲面的切平面与坐标平面围成的四面体的体积等于常数.证研究切平面的性质.记,则在曲面上点处的切平面的方程为
7、.于是,四面体的体积为.3.设函数可导,且,则曲面在任意一点处的法线与z轴相交.证特殊类型的曲面的切平面.曲面在点处的法线的参数方程为取即可.4.设函数有连续的偏导数,则由方程确定的曲面在任意一点处的切平面平行于一条定直线.证特殊类型的曲面的切平面.将方程的左端分别对,和求导,得曲面的一个法向量,它与定向量垂直.5.设函数可导,则曲面在任意一点处的切平面过坐标原点.证特殊类型的曲面的切平面.曲面在点处的切平面方程为取,则得.6.求曲面与在点处的夹角.解曲面在交点处的夹角.曲面之间的夹角为切平面之间的夹角.求偏导数,
