数学【专题九】分类讨论的思想

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1、专题九数学【专题九】分类讨论的思想【考情分析】高考中的分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”【知识交汇】分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。所谓分类讨论

2、，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。2.分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为

3、零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3.运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的全域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4.明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理

4、、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；8专题九数学⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。【思想方法】一、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论【例1】设，函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)当时,求函数的最小值.【解析】（1）当时，令得所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线在处的切线方程为：。（2）①当时，，，恒成立

5、。在上增函数。故当时，②当时，，（）（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时(ii)当，即时，在时为负数，在间时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数故当时，，且此时8专题九数学(iii)当；即时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，故当时，。综上所述，当时，在时和时的最小值都是。所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为。当时，在时最小值为，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为所以函数的最小值为【点评】本题涉及的知识点有带绝对值的式子，因此要了解绝对值概念的定义，进行分类讨论。二、根据数学中

6、的定理，公式和性质确定分类标准【例2】求和=　　　　　【解析】：当时，；　　　　当时，此题为等比数列求和，　　　①　若时，则由求和公式，。　　　②　若时,。　　　　　　　　综合可得　【点评】：由于等比数列定义本身有条件限制，等比数列求和公式是分类给出的。因此，应用等比数列求和公式时也需要讨论，这里进行了两层分类：第一层分类的依据是等比数列的概念，分为和8专题九数学；第二层分类依据是等比数列求和公式的应用条件。三、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论【例3】若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是.(只须写出一个

7、可能的值)【解析】首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以VABCD=SΔBCM·AD.CM===.设N是BC的中点，则MN⊥BC，MN===，从而SΔBCM=

8、×2×=，故VABCD=××1=.对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一