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1、概率论与数理统计第4讲本讲义可在网址http://math.shekou.com或ftp://math.shekou.com下载1§1.4条件概率2一,条件概率的概念先由一个简单的例子引入条件概率的概念引例一批同型号产品由甲,乙两厂生产,产品结构如下表:数量厂别甲厂乙厂合计等级合格品4756441119次品255681合计50070012003从这批产品中随意地取一件,则这件产品为次品的概率为数量厂别甲厂乙厂合计等级合格品4756441119次品255681合计50070012004在已知取出的产品是甲厂生产的条件下,它是次品的概率为数量厂别甲厂乙厂合计等级合格品47564
2、41119次品255681合计50070012005记"取出的产品是甲厂生产的"这一事件为A,"取出的产品为次品"这一事件为B.在事件A发生的条件下,求事件B发生的概率,这就是条件概率,记作P(B
3、A).在本例中,我们注意到:6记"取出的产品是甲厂生产的"这一事件为A,"取出的产品为次品"这一事件为B.数量厂别甲厂乙厂合计等级合格品4756441119次品255681合计50070012007事实上,容易验证,对一般的古典概型,只要P(A)>0,总有8在几何概型中(以平面区域情形为例),在平面上的有界区域S内等可能投点.若已知A发生,则B发生的概率为ASBAB9可见,在古典
4、概型和几何概型这两类"等可能"概率模型中总有由这些共性得到启发,我们在一般的概率模型中引入条件概率的数学定义.10二,条件概率的定义定义1设A,B是两个事件,且P(A)>0,则称(4.1)为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.相应地,把P(B)称为无条件概率.一般地,P(B
5、A)P(B).1112例1一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次从袋中各取一球(不放回) (1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率; (2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率.13解记Ai为事件"第i次取到的是黑球"(i=1,2) (1)在已知A1
6、发生,即第一次取到的是黑球的条件下,第二次取球就在剩下的2个黑球,7个白球共9个球中任取一个,根据古典概率计算,取到黑球的概率为2/9,即有P(A2
7、A1)=2/914(2)在已知A2发生,即第二次取到的是黑球条件下,求第一次取到黑球的概率.但第一次取球发生在第二次取球之前,故问题的结构不象(1)那么直观.我们可按定义计算P(A1
8、A2).15注:①用维恩图表达(4.1)式,若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是即在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB.因已知A已发生,故A成为计算条件概率P(B
9、A)新的样本空间.SABAB16②计算条件概率有两种方法: (a)在
10、样本空间S中,先求事件P(AB)和P(A),再按定义计算P(B
11、A). (b)在缩减的样本空间A中求事件B的概率,就得到P(B
12、A).17例2袋中有5个球,其中3个红球2个白球.现从袋中不放回地连取两个.已知第一次取得红球时,求第二次取得白球的概率.解设A表示"第一次取得红球",B表示"第二次取得白球",求P(B
13、A).18也可以直接用古典概型的办法进行考虑,因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下4个球,其中有两个白球,再从中任取一个,取得白球的概率为2/4,所以1920三,乘法公式由条件概率的定义立即得到:P(AB)=P(A)P(B
14、A)(P(A)>0)(4.2)注意到AB
15、=BA,及A,B的对称性可得到:P(AB)=P(B)P(A
16、B)(P(B)>0)(4.3) (4.2)和(4.3)式都称为乘法公式.利用它们可计算两个事件同时发生的概率.21例3一袋中装10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次从中随意各取一球(不放回),求两次取到的均为黑球的概率.分析这一概率,我们曾用古典概型方法计算过,这里我们使用乘法公式来计算.在本例中,问题本身提供了两步完成一个试验的结构,这恰恰与乘法公式的形式相应,合理地利用问题本身的结构来使用乘法公式往往是使问题得到简化的关键.22例3一袋中装10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次从中随意各取一球(不放回)
17、,求两次取到的均为黑球的概率.解设Ai表示事件"第i次取得黑球"(i=1,2),则A1A2表示事件"两次取到的均为黑球".由题设知:于是根据乘法公式,有23注:乘法公式(4.2)和(4.3)可以推广到有限个事件积的概率情形:设A1,A2,,An为n个事件,且P(A1A2An-1)>0,则P(A1A2An)=P(A1)P(A2
18、A1)P(A3
19、A1A2) P(An
20、A1A2An-1)(4.4)24例4设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10
