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《概率论与数理统计课件第4章.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章随机变量的数字特征数学期望方差*协方差与相关系数大数定律与中心极限定理数学期望的引例MathematicalExpectation例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为以频率为权重的加权平均数学期望E(X)MathematicalExpectation定义设离散型随机变量的概率分布为离散型随机变量随机变量X的数学期望，记作E（X），即XP41/451/261/4数学期望的计算已知随机变量X的分布律：例求数学期望E（X）解连续型随机变量的数学期望E(X)连续型随机变量定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则即数学期望的计算
2、已知随机变量X的密度函数为例求数学期望。解数学期望的意义试验次数较大时，X的观测值的算术平均值在E(X)附近摆动数学期望又可以称为期望值(ExpectedValue)，均值(Mean)E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的可能值以其相应概率的加权平均。二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X,Y)为二维离散型随机变量(X,Y)为二维连续型随机变量设(X,Y)的联合密度为例(1)求k(2)求X和Y的边缘密度(3)求E(X),E(Y).(1)由解所以所以得113时(2)（３）时113113（３）另解无需求边缘分布密度函数随机变量的函数的数学期望定理1：一维情形设是
3、随机变量X的函数,离散型连续型概率密度为服从已知上的均匀分布，求的数学期望。因为所以例解随机变量的函数的数学期望定理2：二维情形联合概率密度为设是随机变量X，Y的函数,连续型离散型15例设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为求E（XY）解数学期望的性质相互独立时当随机变量.C为常数..设（X,Y）在由4个点（0，0）（3，0），（3，2),(0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).302练一练答案：0-1分布的数学期望X服从0-1分布，其概率分布为P(X=1)=pP(X=0)=1-pXP011-pp若X服从参数为p的0-1分布，
4、则E(X)=p分布律数学期望IfX~B(n,p),thenE(X)=np二项分布的数学期望分布律X服从二项分布，其概率分布为数学期望二项分布可表示为个０－１分布的和其中则泊松分布的数学期望If,then分布律数学期望均匀分布的期望分布密度数学期望X~N(μ，σ2）正态分布的期望分布密度数学期望指数分布的期望分布密度数学期望数学期望在医学上的一个应用AnapplicationofExpectedValueinMedicine考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，
5、则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：设随机抽取的10人组所需的化验次数为X我们需要计算X的数学期望，然后与10比较化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律。(X=1)=“10人都是阴性”（X=11)=“至少1人阳性”结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数注意求X期望值的步骤！1、概率p对是否分组的影响问题的进一步讨论若p=0.2，则当p>0.2057时，E(X)>102、概率p对每组人数n的影响当p=0.2时，可得出n
6、<10.32，才能保证EX<10.当p=0.1时，为使例独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为p1+p2设产生故障的仪器数目为X则X的所有可能取值为0，1解所以方差大数定律中心极限定理方差的引入E(X1)=5X2P235781/81/81/21/81/8E(X2)=5X1P4561/41/21/4设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大，如果需要使用直径为5的产品，则产品1较产品2理想。方差（Variance）的定义定义均方差（标准差）与有相同的量纲设是一随机变量，如果存在，则称为
7、的方差，记作或即方差的计算公式Proof.一维随机变量的方差设离散型随机变量X的概率分布为离散型连续型设连续型随机变量X的分布密度为f(x)其中方差的计算E(X1)=5X2P235781/81/81/21/81/8E(X2)=5X1P4561/41/21/4例设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：求D(X1),D(X2)解0-1分布的方差XP011-pp分布律方差其中二项分布的方差IfX~B(n,p),thenD(X)=np(1-p)分布律方差X~B(n,p)其中推导？泊松分布的方差Ift
