多元统计分析之判别分析

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1、第六章判别分析§6.1什么是判别分析判别分析是判别样品所属类型的一种统计方法，其应用之广可与回归分析媲美。在生产、科研和日常生活中经常需要根据观测到的数据资料，对所研究的对象进行分类。例如在经济学中，根据人均国民收入、人均工农业产值、人均消费水平等多种指标来判定一个国家的经济发展程度所属类型；在市场预测中，根据以往调查所得的种种指标，判别下季度产品是畅销、平常或滞销；在地质勘探中，根据岩石标本的多种特性来判别地层的地质年代，由采样分析出的多种成份来判别此地是有矿或无矿，是铜矿或铁矿等；在油田开发中，根据钻井的电测或化验数据，判别是否遇到油层、水层、干层或油水混合层；

2、在农林害虫预报中，根据以往的虫情、多种气象因子来判别一个月后的虫情是大发生、中发生或正常；在体育运动中，判别某游泳运动员的“苗子”是适合练蛙泳、仰泳、还是自由泳等；在医疗诊断中，根据某人多种体验指标（如体温、血压、白血球等）来判别此人是有病还是无病。总之，在实际问题中需要判别的问题几乎到处可见。判别分析与聚类分析不同。判别分析是在已知研究对象分成若干类型（或组别）并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分类。对于聚类分析来说，一批给定样品要划分的类型事先并不知道，正需要通过聚类分析来给以确定类型的。正因

3、为如此，判别分析和聚类分析往往联合起来使用，例如判别分析是要求先知道各类总体情况才能判断新样品的归类，当总体分类不清楚时，可先用聚类分析对原来的一批样品进行分类，然后再用判别分析建立判别式以对新样品进行判别。判别分析内容很丰富，方法很多。判别分析按判别的组数来区分，有两组判别分析和多组判别分析；按区分不同总体的所用的数学模型来分，有线性判别和非线性判别；按判别时所处理的变量方法不同，有逐步判别和序贯判别等。判别分析可以从不同角度提出的问题，因此有不同的判别准则，如马氏距离最小准则、Fisher准则、平均损失最小准则、最小平方准则、最大似然准则、最大概率准则等等，按判

4、别准则的不同又提出多种判别方法。本章仅介绍四种常用的判别方法即距离判别法、Fisher判别法、Bayes判别法和逐步判别法。§6.2距离判别法基本思想：首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心即分组（类）的均值，判别准则是对任给的一次观测，若它与第i类的重心距离最近，就认为它来自第i类。距离判别法，对各类（或总体）的分布，并无特定的要求。1两个总体的距离判别法设有两个总体（或称两类）G1、G2，从第一个总体中抽取n1个样品，从第二个总体中抽取n2个样品，每个样品测量p个指标如下页表。今任取一个样品，实测指标值为，问X应判归为哪一类？首先计算X到G1、G2总体的距离

5、，分别记为和99，按距离最近准则判别归类，则可写成：G1总体：G2总体：变量样品…变量样品……………均值…均值…记如果距离定义采用欧氏距离，则可计算出然后比较和大小，按距离最近准则判别归类。由于马氏距离在多元统计分析中经常用到，这里斟对马氏距离对上述准则做较详细的讨论。设、，、分别为G1、G2的均值向量和协方差矩阵。如果距离定义采用马氏距离即这时判别准则可分以下两种情况给出：（1）当时考察及的差，就有：令则判别准则可写成：99当已知时，令则  显然，W(X)是的线性函数，称W(X)为线性判别函数，a为判别系数。当未知时，可通过样本来估计。设来自Gi的样本，i=1,2

6、。其中 线性判别函数为：当p=1时，若两个总体的分布分别为和，判别函数，不妨设，这时W(X)的符号取决于或。当时，判；当时，判。我们看到用距离判别所得到的准则是颇为合理的。但从下图又可以看出，用这个判别法有时也会得出错判。如X来自G1，但却落入D2，被判为属G2，错判的概率为图中阴影的面积，记为，类似有，显然==。99当两总体靠得很近（即

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8、小），则无论用何种办法，错判概率都很大，这时作判别分析是没有意义的。因此只有当两个总体的均值有显著差异时，作判别分析才有意义。（2）当时按距离最近准则，类似地有：仍然用作为判别函数，它是X的二次函数。2多个总体的距离判别法类似两

9、个总体的讨论推广到多个总体。设有k个总体G1,…,Gk，它们的均值和协差阵分别为，从每个总体Gi中抽取ni个样品，i =1,…,k，每个样品测p个指标。今任取一个样品，实测指标值为，问X应判归为哪一类？G1总体：…Gk总体：变量样品…变量样品……………均值…均值…记向量（1）当时此时判别函数为：相应的判别准则为：当，未知时可用其估计量代替，设从Gi中抽取的样本为，则，的估计分别为99其中为Gi的样本离差阵。（2）当不相等时此时判别函数为：相应的判别准则为：当未知时，可用的估计量代替，即例1人文发展指数是联合国开发计划署于1990年5月发表的第一份《人类发展报告》