三次可解型非退化李代数及导子李代数的结构

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1、摘要本文在文献[1]的基础上进一步研究了带有非退化不变对称双线性型的可裂的有限维可解李代数的结构论得到了这类李代数的两种重要类型并通过对其极小生成元系的讨扩充的Heisenberg李代数和三次可解型非退化李代数进而给出了三次可解型非退化李代数的一个等价条件并且详细地刻画了它的导子李代数的结构关键词三次可解型非退化李代数导子李代数不变双线性型Heisenberg李代数AbstractInthispaper,wefirstpresenttwotypesofthesolvableLieAlgebraswithnon-degenerateinvariantbilinearform.O

2、neisextendedHeisenbergLieAlgebra,theotheris3-solvablenon-degenerateLieAlgebra.Furthermore,wegiveoneequivalentconditionandanexampleofthelatertype.WecompletelydeterminedthestructureofDergofthe3-solvablenon-degenerateLieAlgebrag.Keywords:3-solvablenon-degenerateLieAlgebra;DerivationLieAlgebra;Invar

3、iantsymmetricbilinearform;HeisenbergLiealgebra.　　　　　　　　　　　前　　言　　带有非退化不变对称双线性型的有限维可解李代数在代数理论和其他许多学科特别是物理学中有着广泛而重要的应用因此对它的研究引起了许多代数学家的关注最近２０年来国内外有不少文献［１］［８］记载了关于这类李代数的研究成果　[文献1]讨论了复数域上带有非退化不变对称双线性型的可裂的有限维可解李代数的结构和性质并将这类李代数简称为非退化可解李代数证明了这类李代数可以分解成不可分解的非退化可解理想的正交直和对于不可分解的非退化可解李代数给出了它关于极大环面

4、子代数的根子空间分解讨论了根空间的结构及运算关系证明了它的Cartan子代数的交换性并给出Cartan子代数的结构[文献8]讨论了带有非退化不变双线性函数的有限维复幂零李代数的性质并且在可阶化和不可分解的条件下给出了这类李代数结构的充分和必要条件[文献7]讨论了一类带有非退化不变对称双线性型的李代数得到了对称自对偶李代数的一些性质由这类李代数对其根基的依赖关系给出了一种分类方法进而给出了其中一类非可解对称自对偶李代数的结构特征并用半单李代数的扩张实现了它们但是我们发现文献[1]对于这类李代数的结构刻画得还不够精细在一些问题上还可以深入探讨因此本文在文献[1]的基础上

5、进一步研究这类李代数的结构补充了[1]遗漏的一些问题同时对这类李代数的极小生成元系作了较为详细的讨论指出了它的两种重要类型一是扩充的Heisenberg李代数另一个是三次可解型非退化李代数其中的三次可解型非退化李代数是本文重点研究的对象我们给出了它的一个等价条件并构造一例说明其存在性此外我们知道导子李代数的结构问题一直是李代数研究中的基本问题特别是在外导子存在的情况下寻找这个李代数的所有外导子就是一个很有兴趣的问题在这篇文章中我们完全确定了三次可解型非退化李代数的外导子的构造以及外导子空间的维数从而完全确定了其导子李代数的结构需要特别声明的是我们在讨论这个

6、问题时思想方法借鉴了孟道骥教授在完备李代数一书中讨论导子李代数的方法参见完备李代数第三章第二节在此表示感谢!尽管Heisenberg李代数是一个很基本的李代数可关于它的表示及应用以及导子代数等等都引起许多人的关注特别是它在物理学中有着重要的应用对它的研究是非常有意义的例如[文献3]讨论了Heisenberg李代数的导子李代数DerH的结构并指出其导子李代数DerH是单完备李代数但是对于扩充的Heisenberg李代数的导子李代数的结构问题却未见到有关的文献记载这就引起我们对于这个问题的兴趣讨论这个问题的方法与讨论三次可解型非退化李代数的导子李代数的结构时所用

7、的方法一致此本文仅给出主要结论因　１　　非退化可解李代数的结构　一预备知识nn定义１Heisenberg李代数设L=Cz+ii是以i=1i=1{z;e1,e2Len;f1,f2Lfn}为基的2n+1维向量空间在其上定义[,]如下　　　　　[ei,fj]=äi,jz;　　i,j=1,2,L,n.令其他基元素间的[,]为零则L关于上述运算构成李代数.这个李代数称作秩为n的Heisenberg李代数,其中Cz是L的一维中心.令d是L→L的线性变