【数学】广东省惠州市一中2012-2013学年高二上学期期末考试（理）

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1、第Ⅰ卷一.选择题:（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.“且”是“”的（　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（）A．30B．25C．20D．153.如图1所示的算法流程图中,若输入的值为，则输出的值是（）A．B．C．D．4.f(x)的导函数f′(x)的图象如y右图所示，则函数f(x)的图象最有可能是图中的(　)5.A．B．C．D．

2、6.已知正方形的顶点为椭圆的焦点,顶点在椭圆上，则此椭圆的离心率为()A．B．C．D．7.已知抛物线的标准方程是，过定点的直线与抛物线有两交点，则斜率的取值范围是（）8.设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为（）A．B．C．D．1第Ⅱ卷二.填空题:(本大题共6小题，每小题5分，共30分)9.若,且a与b垂直，则m=________.10.任选一个不大于10的正整数，它恰好是3的整数倍的概率是________.11.已知一个样本数据：1，3，2，5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是___

3、_．12.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是　　　.13.已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的渐近线方程为_______.14.二次函数的导函数为，已知，且对任意实数，有，则的最小值为．三、解答题：共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本题满分12分）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女

4、生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.16.（本题满分12分）设函数，（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）设为的三个内角，若，且为锐角，求的值。17.（本题满分14分）水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为:（1）该

5、水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第i月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.18.（本题满分14分）如图，已知直三棱柱，，是棱上动点，是中点，，.（1）求证：平面；（2）当是棱中点时，求证：∥平面；（3）在棱上是否存在点，使得二面角的大小是，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.19．（本题满分14分）已知点A是抛物线y2＝2px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线与x轴交于点K，已知｜AK｜＝｜AF｜，三角形AFK的面积等于8．（1）求p的值；（2）过该抛

6、物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G，H。求｜GH｜的最小值．20．（本小题满分14分）已知函数.（1）求函数的极大值；（2）令（为实常数），试判断函数的单调性；（3）若对任意，不等式均成立，求实数的取值范围.2012-2013学年2014届高二上学期期末考试理科数学试题参考答案16.（本题满分12分）解：（1）由……..4分最小正周期……..6分（2）……..7分，又为锐角，……..8分当变化时，与的变化情况如下表：(4,8)8(8,10)+0-增函数极大值减函数由上表，在时

7、取得最大值（亿立方米）。故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。18.（1）证明：∵三棱柱是直棱柱，∴平面.又∵平面，∴.∵，，是中点，∴.又∵∩，∴平面.……………4分（2）证明：取的中点，联结，.∵、分别是棱、中点，∴∥，.又∵∥，，∴∥，.∴四边形是平行四边形，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.………………9分（3）解：以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,.设，平面的法向量，则,.且，.于是所以取，则∵三棱柱是直棱柱，∴平面.则.解得.∴在棱上存在点，使得二面角的大小是

8、，此时.设（Ⅱ），，………………………………………4分①当,即时，，在上为增函数；…………………………………………………………5分②当，即时，.由,,与不同时为0.…………………13分因当且仅当时，=0，所以为满足题意必有，即.………14分