一、奇妙的无穷小

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1、10奇妙的无穷小一、什么是无穷小？在一个给定的极限过程中，以零为极限的变量称为无穷小变量，简称为“无穷小”。１、无穷小是函数，还是数列，还是实数？２、0是无穷小吗？(1)数列√；(2)函数√；(3)实数×。二、无穷小趋向零的速度快慢比较设是某一极限过程中的无穷小，则有：三、无穷小的等价类等价是一种“关系”，它具有：反身性，对称性，传递性。即：１.；２.若则；３.若，，则；10四、如果遇到许多无穷小，哪一个最重要？最低阶的无穷小最重要。例：五、无穷小的等价类时，，,推广：六、无穷小主部的分离(1)泰勒公式的本质是什么？10用函数在0点的各阶微分逼近增量的真值。(2)

2、常用泰勒公式（5个需要记忆的麦克劳林公式）(3)补充四个重要的公式，可以比较记忆:七、无穷小关系的利用乘除法中，作无穷小等价替换；10加减法中，作无穷小主部分离。（当替换后不为零时才可以进行替换）证明：若八、泰勒公式中是否需要带余项？极限式子中可以不带余项，视为广义的等价替换。没有极限符号的式子中应该带余项，因为函数与其泰勒展开式并不相等。九、无穷小运算规律数乘：加（减）法：乘法：除法：例：10十、应用实例2014年考研题：1.求极限．2.当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（）(A)(B)(C)(D)【解】，，，应该选(B)．3.设，则当时，若是比高

3、阶的无穷小，则下列选项中错误的是（）(A)(B)(C)(D)10【解】时，，应该选（D）2013年考研题：1.已知，其中为常数，且，则（）(A)(B)(C)(D)【解】,选D。2.设，当时，().(A)比高阶的无穷小(B)比低阶的无穷小(C)与同阶但不等价无穷小(D)与等价无穷小【解】，选C。3.当时，与是等价无穷小，求常数．4.已知函数，记，10(I)求的值;(II)若时，与是同阶无穷小，求常数的值.解：以前年度考研试题1、设，则当时，的（）。⑴同阶但非等价无穷小⑵等价无穷小⑶高阶无穷小⑷低阶无穷小√分析：低阶，选⑷。2、时，与等价的无穷小量是（）。⑴⑵√⑶⑷1

4、0分析：，应选⑵。3、当时，与为等价无穷小，则（）。⑴⑵⑶⑷分析：选⑴。4、已知当时，，，都是无穷小量，按照它们关于的阶数从低到高的顺序排列，应得到（）。10⑴⑵⑶√⑷分析：应选⑶。5、已知当时，是关于的5阶无穷小，求常数的值。分析：展开式中不含一至四阶无穷小，展到４阶即可。历年全国大学生数学竞赛试题103.求极限解：原式＝