第四章 专题研究 三角函数的值域与最值

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1、专题训练一、选择题1．函数y＝cos(x＋)，x∈[0，]的值域是(　　)A．(－，]　　　　　　　　B．[－，]C．[，]D．[－，－]答案　B解析　x∈[0，]，x＋∈[，π]，∴y∈[－，]．2．如果

2、x

3、≤，那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是(　　)A.B．－C．－1D.答案　D解析　f(x)＝－sin2x＋sinx＋1＝－(sinx－)2＋，当sinx＝－时，有最小值，ymin＝－＝.3．已知函数f(x)＝sin(πx＋θ)cos(πx＋θ)在x＝3时取得最小值，则θ的一个值可

4、以是(　　)A．－B．－C.D.答案　B解析　f(x)＝sin(2πx＋2θ)，f(3)＝sin(6π＋2θ)＝sin2θ，此时sin2θ＝－1,2θ＝2kπ－，∴θ＝kπ－(k∈Z)．4．函数y＝12sin(2x＋)＋5sin(－2x)的最大值是(　　)A．6＋B．17C．13D．12答案　C解析　y＝12sin(2x＋)＋5cos[－(－2x)]＝12sin(2x＋)＋5cos(2x＋)＝13sin(2x＋＋φ)(φ＝arctan)，故选C.5．当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值是(　　)A.B

5、.C．2D．4答案　D解析　f(x)＝＝，当tanx＝时，f(x)的最小值为4，故选D.6．在△OAB中，O为坐标原点，A(1，cosθ)，B(sinθ，1)，θ∈(0，]，则当△OAB的面积达到最大值时，θ等于(　　)A.B.C.D.答案　D解析　如图θ＝－α，∴S＝1－×1×sinα－×1×cosα－(1－cosα)(1－sinα)＝－sinαcosα＝－sin2α＝－sin2θ，∴当θ＝时，S取到最大值．故选D.7．已知f(x)＝，下列结论正确的是(　　)A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值

6、C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值答案　B解析　令t＝sinx，t∈(0,1]，则y＝1＋，t∈(0,1]是一个减函数，则f(x)只有最小值而无最大值．另外还可通过y＝1＋，得出sinx＝，由sinx∈(0,1]也可求出，故选B.二、填空题8．函数y＝sin2x＋2cosx在区间[－π，α]上最小值为－，则α的取值范围是________．答案　(－π，]解析　y＝2－(cosx－1)2，当x＝－π时，y＝－，根据函数的对称性x∈(－π，]．9．函数y＝sinx＋cosx在区间[0，]上的最

7、小值为________．答案　1解析　y＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0，]．∴x＋∈[，]，∴ymin＝2sin＝1.10．函数y＝＋的最小值是________．答案　3＋2解析　y＝＋＝＋＝3＋＋≥3＋2∴ymin＝3＋2.三、解答题11．(2011·烟台质检)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x＋m)．(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求m的值．解析　∵(1)

8、f(x)＝2cos2x＋sin2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1，∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.在[0，π]上的单调递增区间为[0，]，[，π]．(2)当x∈[0，]时，∵f(x)单调递增，∴当x＝时，f(x)取得最大值为m＋3，即m＋3＝4，解之得m＝1，∴m的值为1.12．(2010·北京卷)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．解析　(1)f()＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.(2)f(x)＝2(2c

9、os2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－)2－，x∈R，因为cosx∈[－1,1]，所以，当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝时，f(x)取最小值－.13．(2010·湖北卷)已知函数f(x)＝cos(＋x)cos(－x)，g(x)＝sin2x－.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．解析　(1)f(x)＝cos(＋x)cos(－x)＝(cosx－sin

10、x)(cosx＋sinx)＝cos2x－sin2x＝－＝cos2x－，f(x)的最小正周期为＝π.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＝cos(2x＋)，当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值.h(x)取得最大值时，对应的x的集合为{x

11、x＝kπ－，k∈Z}．