活用等底等高等积1

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1、活用“等底等高等面积”,破解中考压轴题山东省淄博市沂源县西里中学256108李德忠纵观历年中考数学试题，会发现：与面积有关的考题总有2至3道，有的是直接计算面积，有的是以面积为条件求其它，更多的情况是由点、线、或平面图形运动，引起图形的变化，从而建立面积函数的表达式.本文将举例说明,灵活运用“等底等高等积”这一结论，破解与面积有关的中考压轴题.ABDCMN图1-①EF一、利用“同底等高—等面积”破解例1（2010年·威海）（1）探究新知：①如图1-①，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任

2、意两点．求证：△ABM与△ABN的面积相等．②如图1-②，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．HC图1-②ABDMFEGK（2）结论应用：如图1-③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．解答（1）①证明：如图1-①，分别过点M，N作ME⊥

3、AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形．∴AB∥CD．∴ME=NF．∵S△ABM＝，S△ABN＝，∴S△ABM＝S△ABN．②相等．理由如下：如图1-②，分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．则∠DHA=∠EKB=90°．∵AD∥BE，∴∠DAH=∠EBK．∵AD＝BE，∴△DAH≌△EBK．∴DH=EK．∵CD∥AB∥EF，∴S△ABM＝，S△ABG＝，∴S△ABM＝S△ABG．﹙2﹚答：存在．因为抛物线的顶点坐标是C(1，4

4、)，所以，可设抛物线的表达式为.A图1-③CDBOxyHPGFPE又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.∴该抛物线的表达式为，即．∴D点坐标为（0，3）．设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得∴直线AD的表达式为．过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为．∴CH＝CG－HG＝4－2＝2．设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为．过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相

5、等．A图1-④CDBOxyHPGFPE①若E点在直线AD的上方﹙如图1-③﹚，则PF=，EF＝．∴EP＝EF－PF＝=．∴．解得，．当时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3．∴E点坐标为（2，3）．同理当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合．②若E点在直线AD的下方﹙如图1-④,1－⑤﹚，则．A图1-⑤-3CDBOxyHPGFPE∴．解得，．当时，E点的纵坐标为；当时，E点的纵坐标为．∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；．评析本题是先

6、探究后应用型压轴题,第(1)问因点M、N、G位置的变化，而引起三角形的变化，探究出三角形的面积因同底等高始终不变的结论．第（２）问应用所探究的结论分情况讨论了使△ADE与△ACD面积相等的点E的位置及其坐标．其中点E在直线AD之下时，又分了点E在抛物线对称轴的左边和右边两种情形，破解此题的关键在于分情况画出相应的图形，运用第（１）问的条件列解二次方程．本题考察的知识点有平行四边形的判定、三角形全等的判定和性质、待定系数法确定函数的表达式、一元二次方程的解法以及分类讨论的思想方法．本题把代数与几何巧妙地

7、揉和在一起，设计富有新意，能有效地考查了学生的探究能力和综合运用知识解决问题的能力．二、利用“同底等面积—等高”破解例2（2010年·泰州）如图所示，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点．⑴求的值；⑵如图2-①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；图2-①⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△A≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不

8、存在，请说明理由．（图2-②供选用）解答(1)∵抛物线经过点D()，∴，∴c=6．（2）过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，∵AC分四边形ABCD相等，即：S△ABC=S△ADC，∴DE=BF．又∵∠DME=∠BMF，∠DEM=∠BFE，∴△DEM≌△BFM．∴DM=BM，即AC平分BD．∵c=6，图2-②∵抛物线为，∴A（）、B（）．∵M是BD的中点，∴M（）．设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点，解得　直线AC