备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题70 离散型随机变量及其分布列问题 理

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1、专题70离散型随机变量及其分布列问题考纲要求:（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.基础知识回顾:1、离散型随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫做随机变量；如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量．2、离散型随机变量

2、的分布列及其性质：（1）离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列，（2）离散型随机变量的分布列的性质：（ⅰ）pi0，i＝1,2，…，n；（ⅱ）p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.3、常见的两种分布：（1）二点分布：如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0

3、布．（2）超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列X01…mP…12为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．应用举例:类型一、离散型随机变量的分布列的性质例1、随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝（n＝1,2,3,4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（）A.B.C.D.【答案】D例2【2017-2018学年湖北省松滋市第一

4、中学】设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝,k＝1,2,3，则m的值为(　　)A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，所以，选B.例3、若随机变量的分布列为则__________．【答案】【解析】由分布列的性质可得由两点分布的方差可得12点评：(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．类型二、离散型随机变量分布列的求法例4、本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的

5、人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人独立来该租车点骑游（各组一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时.（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列.【答案】（1）（2）见解析记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则．所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为．12（2）设甲、乙两个所付的费用

6、之和为，可能取得值为0，2，4，6，8，，，，，分布列例5【2017届贵州省铜仁市第四中学高三适应性测试】医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标和．现有三种不同配方的药剂，根据分析，三种药剂能控制指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制指标与能否控制指标之间相互没有影响．（Ⅰ）求三种药剂中恰有一种能控制指标的概率；（Ⅱ）某种药剂能使两项指标和都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数的分布列．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.即，∵的可

7、能取得为，∴，即12，，，故的分布列为01230.3430.4410.1890.027点评：1．求离散型随机变量的分布列的关键是分析清楚随机变量的取值有多少，并且正确求出随机变量所取值对应的概率．2．在求解随机变量概率值时，注意结合计数原理、古典概型等知识求解．类型三、超几何分布例6在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是(　　)A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)【答案】C例7、在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随

8、机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题。甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响。⑴记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，则X的分布列为_________