2013年高三理科数学第一轮复习函数(8) 幂函数

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1、2013年高三理科数学第一轮复习函数（8）幂函数考纲要求1、利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．命题规律相对于指数函数和对数函数来讲，幂函数要复杂得多。高考中常以指数为、1、2、3、的幂函数为载体，考查幂函数的图象及性质。题目多以选择题或填空题的形式出现，难度较小。考点解读考点1幂函数的图象和性质研究幂函数的图象和性质时，要注意幂指数的取值，大致分为三类：，在每一类中性质是相似的。一般重点研究的情形。幂函数的性质定义域RRR[0，＋∞){x

2、x∈R且x≠0}值　域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y

3、y

4、∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1)(1,1)考点突破考点1幂函数的图象和性质典例1已知幂函数(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－的a的取值范围．解题思路由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶数可得m的值．解题过程∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈

5、N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而f(x)＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－＜(3－2a)－等价于a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或＜a＜.故a的取值范围为.易错点拨本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对

6、称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．变式1幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有

7、BM

8、＝

9、MN

10、＝

11、NA

12、.那么，αβ＝(　　)．A．1B．2C．3D．无法确定点拨法一　由条件得M，N，由一般性，可得＝α，＝β，即α＝log，β＝log.所以αβ＝log·log＝·＝1.法二　由解法一，得＝α

13、，＝β，则αβ＝α＝a＝，即αβ＝1.答案A典例2已知函数为偶函数，a为整数，且在第一象限是单调减函数，则满足条件的a的个数为（）A、1B、2C、3D、4解题思路通过性质确定各个位置参数（表达式）的取值范围，然后综合考察。解题过程因为在第一象限是减函数，所以，解得，又a为整数，所以或者或者，对应的有，再由为偶函数知，故答案为A。易错点拨函数性质和数学语言的转换过程中，概念不清会产生混淆。变式1已知函数的图象过点，则点拨由得，答案综合突破突破1指数函数、对数函数和幂函数结合考查典例1比较大小：，，，解题思

14、路可以利用指数函数和对数函数的单调性解决问题。如果不能直接比较的时候，可以借助中间量。常借助的中间量是0、1、等。解题过程由对数函数的性质得：，由指数函数和幂函数的性质得：，所以4个数的大小关系是易错点拨在比较和（）的大小时，还可以考虑插入和，这种方法经常奏效。变式1三个数的大小顺序为（）A、B、C、D、点拨指数函数和幂函数性质结合考察。答案B快乐训练1、如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为(　　)．A．－2，－，，2B．2，

15、，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－2、下列函数中既是偶函数又是（）A．B．C．D．3、函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．4、下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A．B．C．D．5、函数的图象是（）A．B．C．D．6、函数的定义域是.7、的解析式是.8、是偶函数，且在是减函数，则整数的值是.提高训练1、下列命题中正确的是（）A．当时函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限2、函数和图

16、象满足（）A．关于原点对称B．关于轴对称C．关于轴对称D．关于直线对称3、函数，满足（）A．是奇函数又是减函数B．是偶函数又是增函数C．是奇函数又是增函数D．是偶函数又是减函数4、函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．5、幂函数图象在一、二象限，不过原点，则的奇偶性为.6、比较下列各组中两个值大小（1）7、已知幂函数轴对称，试确定的解析式.8、求证：函数在R上为奇函数且为增函数.超越训练1、如图1—9所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大