椭圆的标准方程及教案

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1、《椭圆及其标准方程》教案呼兰六中王英辉教学目标知识目标：理解椭圆的定义及有关概念；明确椭圆的标准方程的形式，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；掌握椭圆的标准方程的概念，能够根据给定的条件求椭圆的标准方程。能力目标：培养学生观察、比较、分析、概括的能力；注重数形结合和类比等数学思想方法的渗透，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法，注重动手能力、探索能力的培养。情感目标：鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；体验数与形对立统一的辩证唯物主义思想。重点、难点及关键重点：椭圆的定义和标准方程的应用；难点

2、：椭圆标准方程的推导；关键：创设具体的椭圆的直观情景，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。教学方法启发、探索教学手段运用多媒体和实物投影仪辅助教学教学过程⒈创设情景、引入概念师：我们都知道月亮绕地球旋转，地球绕太阳旋转，那么它们旋转的轨迹是什么呢？（多媒体动态演示行星运行的轨道）。然后请同学列举一些实际生活中的椭圆形的例子。生：天体运行图（月亮绕地球，地球绕太阳旋转）、汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图……实物：圆柱形杯倾斜后杯中水的形状。6师：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的。那么如何统

3、一地研究生活中出现的各种各样的椭圆呢？这就是我们今天要探究的----椭圆及其标准方程。⒉尝试探究、形成概念师：给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆吗？让学生自己动手画图，使其探究性学习，再提出以下问题：思考1：在作图过程中，有哪些物体的位置没变？哪些物体的位置改变？有哪些量没有变？哪些量变了。指出绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。用多媒体演示从椭圆形成的过程，结合学生的作图过程，启发学生得到椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数2（大于∣F1F2∣=2c）的点的轨迹。两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦

4、距，记为2c。若设M为椭圆上的任意一点，则∣MF1∣+∣MF2∣=2。思考2：若调节两图钉的相对位置，所得到的图形有何变化？⒊标准方程的推导师：下面我们一起来推导椭圆的方程．求曲线方程的步骤是什么？生：求曲线方程的步骤是：①建立坐标系设动点坐标：②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程；⑤检验其完备性．师：那么此题应如何建立坐标系呢？(让学生思考后回答)教师归纳大体上有如下三个方案：①取一个定点为原点，以F1，F2所在直线为x轴建立直角坐标系，如图；6②以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图③以F1，

5、F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案③，如图，推导出方程．1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，设两定点坐标为：F1(-c，0)，F2(c，0)，2)则M满足：

6、MF1

7、+

8、MF2

9、=2a，4)化简．a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：6(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．化简得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁

10、，且x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，引入字母b，令，且b>0可得椭圆标准方程为（a>b>0）。教师指出(*)式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：1)方程中条件a＞b＞0不可缺少(结合图形)，当a=b＞0时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；(这实际上是一种极限情况．)2)b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2；3)请学生猜想：若用方案②(即焦点在y轴上)，得到的方程形式又如何呢？(启发学生根据对称性进行猜想)（观看电脑）4.两种类型的椭圆方程的比较：

11、焦点在X轴：F1（-c,0）、F2（c,0）焦点在Y轴：F1（0,-c）、F2（0,c）【关系】（让学生讨论，归纳出这两种形式的标准方程有何异同）含、的分式的分母谁大，焦点就在那个轴上。5.应用概念【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）已知椭圆的焦点坐标是F1（－4，0）、F2（4，0），椭圆上任一点到F1、F2的距离之和为10，求椭圆的标准方程。（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点（￣，）。6．练习（见投影）67.归纳小结定义式⑴知识小结：学生自己小结定义椭圆焦点在轴上标准方程焦点在轴上⑵方法小结：①用坐标法研究

12、曲线②用运动、变化的观点分析问题③解题过程中注意数形结合的方法⑶实际应用：椭圆在天文学、建筑学