一、椭圆的标准方程(教案)

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1、橢團的标冷方程教学目标：知识目标：1、建立肓角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程；2、掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；3、会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆。能力目标：1、通过寻求椭関的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；2、在相互交流学习小，使学生养成表述、抽象、总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行合作推理的能力，及应用代数知识进行同解变形和化简的能力。情感目标：1、在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心；2、培养学生不怕困难、勇于探

2、索的优良作风，增强学住审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学纶以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。教学重点：感受建立Illi线方程的基本过程，学握椭圆的标准方程及其推导方法，教学难点：椭圆的标准方程的推导。教学方法：1、启发式教学法；2、课堂讨论法；3、分层教学法。教学过程：一、复习引入：思考：—•架救援机从A地出发进行救援任务，之后必须回到B地加油，已知£机一次最多能E行500公里，『ijAB两地相距20（）公里，问这架飞机能够救援到的区域是怎样的？复习：椭圆的定义及注意点。问题：汽车贮油罐的横截而的外轮廓线的形状是椭圆，怎样设计才能梢确制造它们？把

3、一个圆压扁了，像椭圆，它究竟是不是椭圆？二、新课讲解［数学实验］让学生把课前准备的绳子和两颗钉子拿出来，同桌合作根据下列做法画图：把绳子的两端用钉子固定在桌上的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，问：画出的轨迹是什么图形？（设绳长为2a,两钉了距离为2c）［学生探索］在绳长不变的情况下，分别按照下表要求画图，则画出的图形是什么呢？2a>2c2a=2cc=02a<2c2c越小2c越大线段圆无轨迹椭圆越圆椭圆越扁思考：得到椭圆要满足的条件是什么？椭圆的定义：平面内到两个定点仟和竹的距离之和等于常数（犬于闪笃

4、）的点的轨迹，叫做椭圆，其屮定点许、耳叫椭圆的焦点，两

5、个焦点间的距离叫椭圆的焦距。注：设P为椭点，则『川+『打=厶＞闪厲

6、（L为常数一一绳长）椭圆标准方程的推导问题1：回忆求圆的方程的一般步骤是什么?（建系、设点、列式、化简）问题2：求椭圆的方程可以怎样建立直角坐标系？［学生探索］让学生根据所应的椭圆，选取适当的坐标系.引导分析所选的坐标系依据是什么？（“对称美"、“简洁美"）方案一：焦点落在X轴⑴建系：以戸、F2所在直线为X轴，线段F02的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy・如图:⑵设点：设点P(x,y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为耳(一c,0)、打(c,0)・⑶列式：依据椭圆的定义式IPF1I+I

7、PF2=2a列方程，并将其坐标化为J(x+c)‘+)2+J(x_C)2+尹2=2a・⑷化简：移项：7(x+c)2+y2=2ci-』(x-c)2+)”再移项：4aJ(x-c)2+)”=4a2+(x-c)2-(x+c)2两边平方：(x+c)2+)"=4a2-4ayj(x-c)2+y2+(^-c)2+)"二+匚=1(a>/7〉0)b2a2V)标准方程比较(1)相同点①方程中x,y表示椭圆上任意一点的坐标;①关于x,y的二元二次方程；②方程右边是常数1,左边是平方和的形式；③a是椭圆上的点到两焦点距离和的一半，c是焦距的一半;a2=b2+c2,a>b>0,a>c>O

8、,b与c大小不定④焦点位置的判定：焦点在较大分母对应的变量的处标轴上例1：己知一个汽车贮汕罐的横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m,求这个椭圆的标准方程。解：以两焦点Fl、F2的连线的中点为坐标原点，两焦点的连线作为x轴，过原点做x轴的垂线为y轴，建立直饬坐标系。设椭圆的标准方程为X2a2=1（°〉b〉0）因此，该椭関的标准方程为2.250.81r2例2：将圆对+）'=4±的点的横地标保持不变，纵处标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线。解：设所得Illi线上任一点坐标为（x,y）,圆*+b=4

9、上的对应点的坐标为（x，,y，）,X221由题意可得X=x且y=2y。代入圆的方程得=1这就是变换后所得曲线的方程，它表示一个椭圆