2017-2018版高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2 空间向量的运算（三）学案 北师大版选修2-1

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1、2空间向量的运算（三）学习目标　1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.知识点一　空间向量数量积的概念思考1　如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.思考2　在等边△ABC中，与的夹角是多少？梳理　(1)定义：已知两个非零向量a，b，则

2、a

3、

4、b

5、cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向

6、量与向量数量积的结合律(λa)·b＝____________交换律a·b＝________分配律a·(b＋c)＝________知识点二　空间向量的数量积的性质11两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔____________②若a与b同向，则a·b＝__________；若反向，则a·b＝__________.特别地，a·a＝__________或

7、a

8、＝③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝________________④

9、a·b

10、≤

11、a

12、·

13、b

14、类型一　空间向量数量积的运算命题角度1　空间向量数量积的基本运算例1　(1)下列命题是否正确？正确

15、的请给出证明，不正确的给予说明.①p2·q2＝(p·q)2；②

16、p＋q

17、·

18、p－q

19、＝

20、p2－q2

21、；③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直.(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，

22、a

23、＝3，

24、b

25、＝4，求：①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b).反思与感悟　(1)如果已知a，b的模及a与b的夹角，则可直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝

26、a

27、2及数量积公式进行计算.跟踪训练1　已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

28、a＋3b

29、等于(　　)A

30、.B.C.D.4命题角度2　利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2　已知在长方体ABCD—1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：(1)·；(2)·；(3)·.11反思与感悟　两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2　已知正四面体OABC的棱长为1，求：(1)(＋)·(＋)；(2)

31、＋＋

32、.类型二　利用数量积求夹角或模命题角度1　利用数量积求夹角例3　已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A

33、1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.反思与感悟　利用向量求异面直线夹角的方法跟踪训练3　已知PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的投影，lα，且l⊥OA.求证：l⊥PA.11命题角度2　利用数量积求模(或距离)例4　如图所示，在平行六面体ABCD—B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.反思与感悟　利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个

34、已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式

35、a

36、＝求解即可.跟踪训练4　如图，已知线段AB⊥平面α，BCα，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离.类型三　利用空间向量的数量积解决垂直问题例5　如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.反思与感悟　(1)证明线线垂直的方法11证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，

37、b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练5　已知向量a，b满足：

38、a

39、＝2，

40、b

41、＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________.1.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则

42、a－2b＋3c

43、等于(　　)A.14B.C.4D.22.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是(　　)A.·B.·C.·D.·3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.其中真命题的个数为(　　)A.1B.2C.3D.04.已知a，b为两个非零空间向量，若

44、

45、a

46、＝2，

47、b

48、＝，a·b＝－，则〈a