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《2017-2018版高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2 空间向量的运算(三)学案 北师大版选修2-1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2空间向量的运算(三)学习目标 1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.知识点一 空间向量数量积的概念思考1 如图所示,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,类比平面向量有关运算,如何求向量与的数量积?并总结求两个向量数量积的方法.思考2 在等边△ABC中,与的夹角是多少?梳理 (1)定义:已知两个非零向量a,b,则
2、a
3、
4、b
5、cos〈a,b〉叫作a,b的数量积,记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向
6、量与向量数量积的结合律(λa)·b=____________交换律a·b=________分配律a·(b+c)=________知识点二 空间向量的数量积的性质11两个向量数量积的性质①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔____________②若a与b同向,则a·b=__________;若反向,则a·b=__________.特别地,a·a=__________或
7、a
8、=③若θ为a,b的夹角,则cosθ=________________④
9、a·b
10、≤
11、a
12、·
13、b
14、类型一 空间向量数量积的运算命题角度1 空间向量数量积的基本运算例1 (1)下列命题是否正确?正确
15、的请给出证明,不正确的给予说明.①p2·q2=(p·q)2;②
16、p+q
17、·
18、p-q
19、=
20、p2-q2
21、;③若a与(a·b)·c-(a·c)·b均不为0,则它们垂直.(2)设θ=〈a,b〉=120°,
22、a
23、=3,
24、b
25、=4,求:①a·b;②(3a-2b)·(a+2b).反思与感悟 (1)如果已知a,b的模及a与b的夹角,则可直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=
26、a
27、2及数量积公式进行计算.跟踪训练1 已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么
28、a+3b
29、等于( )A
30、.B.C.D.4命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2 已知在长方体ABCD—1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点.试计算:(1)·;(2)·;(3)·.11反思与感悟 两向量的数量积,其运算结果是数量,而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1,求:(1)(+)·(+);(2)
31、++
32、.类型二 利用数量积求夹角或模命题角度1 利用数量积求夹角例3 已知BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,▱ABB1A
33、1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角.反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法跟踪训练3 已知PO、PA分别是平面α的垂线、斜线,AO是PA在平面α内的投影,lα,且l⊥OA.求证:l⊥PA.11命题角度2 利用数量积求模(或距离)例4 如图所示,在平行六面体ABCD—B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长.反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个
34、已知向量的和的形式,求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模,利用公式
35、a
36、=求解即可.跟踪训练4 如图,已知线段AB⊥平面α,BCα,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,D与A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,求A,D两点间的距离.类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题例5 如图,在空间四边形OABC中,OB=OC,AB=AC,求证:OA⊥BC.反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法11证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.(2)证明与空间向量a,b,c有关的向量m,n垂直的方法先用向量a,
37、b,c表示向量m,n,再判断向量m,n的数量积是否为0.跟踪训练5 已知向量a,b满足:
38、a
39、=2,
40、b
41、=,且a与2b-a互相垂直,则a与b的夹角为________.1.已知a,b,c是两两垂直的单位向量,则
42、a-2b+3c
43、等于( )A.14B.C.4D.22.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列向量的数量积一定不为0的是( )A.·B.·C.·D.·3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:①(++)2=32;②·(-)=0;③与的夹角为60°.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.04.已知a,b为两个非零空间向量,若
44、
45、a
46、=2,
47、b
48、=,a·b=-,则〈a