2012届高考数学备考复习：导数及其应用

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1、2012届高考数学备考复习：导数及其应用专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第五讲导数及其应用【最新考纲透析】1导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数。（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。（2）了解函数在某点取得极值的必要

2、条和充分条；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2）了解微积分基本定理的含义。【核心要点突破】要点考向1：利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。考

3、向链接：1．导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条下，求得切线方程为。注：①当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。例1：（2010•海南高考•理科T3）曲线在点处的切线方程为（）（A）（B）（）（D）【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行

4、求解【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程【规范解答】选A因为，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A要点考向2：利用导数研究导数的单调性考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。考向链接：利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不

5、等式＞0或＜0。②若已知的单调性，则转化为不等式≥0或≤0在单调区间上恒成立问题求解。例2：（2010•东高考科•Ｔ21）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择【规范解答】（1）当所以因此，,即曲线又所以曲线（2）因为,所以,令当时，所以当时

6、，>0，此时，函数单调递减；当时，<0，此时，函数单调递增当时，由，即，解得①当时，，恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;②当时，，时，,此时,函数单调递减时，<0,此时,函数单调递增时，，此时，函数单调递减③当时，由于,时，,此时,函数单调递减：时，<0,此时,函数单调递增综上所述：当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增当时,函数在上单调递减当时，函数在上单调递减；函数在上单调递增；函数在上单调递减【方法技巧】1、分类讨论的原因(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；(2)数的运算：如除法运算中除式不

7、为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能2、分类讨论的原则(1)要有明确的分类标准；(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行3、分类讨论的一般步骤(1)明确讨论对象，确定对象的范围；(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；(4)归

8、纳总结，得出结论要点考向3：利用导数研究函数的极值与最值考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，几乎是近几年