高考数学导数及其应用

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1、考点5数学2010年高考数学试题分类解析【考点5】导数及其应用1、（18）（重庆理）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）已知函数其中实数（Ⅰ）若a=-2，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。解：（I）当a=2时，，因此曲线在点处的切线方程为，即（II）因由（I）知又因处取得极值，所以即此时其定义域为，且由当时，时，由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间（1，3）上是减函数42考点5数学2、（22）（浙江)（本题满分14分）已知a是给定的实常数，设函数是的一个极大值点

2、.（I）求b的取值范围;（II）设是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得的某种排列（其中）依次成等差数列？若存在，示所有的b及相应的若不存在，说明理由.（Ⅰ）解：令则于是可设是的两实根，且（1）当时，则不是的极值点，此时不合题意（2）当时，由于是的极大值点，故即即所以所以的取值范围是（-∞，）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，假设存了及满足题意，则（1）当时，则于是即此时或（2）当时，则42考点5数学①若于是即于是此时②若于是即于是此时综上所述，存在满足题意当当当3、（21）（天津）（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）

3、求函数的单调区间和极值；42考点5数学（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，（Ⅲ）如果，且，证明（Ⅰ）解：f’令f’（x）=0,解得x=1当x变化时，f’（x），f（x）的变化情况如下表X（）1（）f’（x）+0-f（x）极大值所以f（x）在（）内是增函数，在（）内是减函数。函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=（Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2-x）,得g（x）=（2-x）令F（x）=f（x）-g（x）,即于是当x>1时，2x-2>0,从而’（x）>0,从而函数F（x）在[1,

4、+∞）是增函数。又F（1）=F（x）>F（1）=0,即f（x）>g（x）．（Ⅲ）证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>．因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2．42考点5数学4、（22）（四川）（本小题满分14分）设（且），是的反函数．（Ⅰ）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围；（Ⅱ）当（为自然对数的底数）时，证明：；（Ⅲ）当时，试比较与4的大小，并说明理由．解：（Ⅰ）由题意，得故由得列表如下：2（2，5）5（5，6）6＋0－

5、5极大值25所以所以t的取值范围为[5，32]………………………………（5分）（Ⅱ）42考点5数学（Ⅲ）综上，总有……………………………………（14分）5、（陕西21．）（本小题满分14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR.（I）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（II）设函数h(x)=f(x)－g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值（a）的解析式；42考点5数学（III）对（2）中的（a），证明：当解:（I）由已知得=alnx，=，解得a=

6、,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2，e）切线的斜率为切线的方程为y－e=(x－e2).（II）由条件知（i）当a.>0时，令h(x)=0,解得x=,所以当0时，h(x)>0，h(x)在（0，）上递增。∴x>是h(x)在（0，+∞）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点.∴最小值（a）=h()=2a－aln=2（ii）当a  ≤   0时，递增，无最小值.故h(x)的最小值（a）的解析式为2a(1－ln2a)(a>0)（III）由（II）知 

7、（a）=－2ln2a.对任意的，①②③42考点5数学故由①，②，③得6、（7）（山东5分）由曲线围成的封闭图形面积为（A）（B）（C）（D）答案：Ａ7、（山东22）（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）因为所以令（1）当所以，当，函数单调递减；当时，，此时单调递（2）当即，解得①当时，恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减；②当时，单调递减；时，单调递增；42考点5数学，此时，函数单调递减；③当时，由于时，，此时，函数单调递减；时，，

8、此时，函数单调递增。综上所述：当时，函数在（０，１）上单调递减；函数在（１，＋∞）上单调递增；当时，函数在（0，+∞）上单调递减；当时，函数在（0，1）上单调递减；函数在上单调递增；函数上单调递减，（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，，当，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为由于“对任意，存在，使”等价于“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2