x省x市二x中高三数学复习教学案《函数与方程》

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1、§2.7函数与方程基础自测1.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一个零点，则a的取值范围是.答案a≥或a≤-12.已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为.答案03.函数f(x)=ex-的零点个数为.答案14.如果二次函数y=x2+mx+（m+3）有两个不同的零点，则m的取值范围是.答案（-∞，-2）∪（6,+∞）5.若函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为，则f(1)=.答案0例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1，8］；

2、（2）f(x)=x3-x-1,x∈［-1，2］；（3）f(x)=log2(x+2)-x,x∈［1，3］.解（1）方法一因为f(1)=-20＜0,f(8)=22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)=x2-3x-18，x∈［1，8］存在零点.方法二令x2-3x-18=0,解得x=-3或6,所以函数f(x)=x2-3x-18,x∈［1，8］存在零点.（2）∵f（-1）=-1＜0,f(2)=5＞0,∴f（x）=x3-x-1，x∈［-1，2］存在零点.（3）∵f（1）=log2（1+2）-1＞log22-1=0.f(3)=l

3、og2(3+2)-3＜log28-3=0.∴f（1）·f（3）＜0故f(x)=log2(x+2)-x在x∈［1，3］上存在零点.例2求函数y=lnx+2x-6的零点个数.解在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.例3（14分）（1）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；（2）若函数f(x)=

4、4x-x2

5、+a有4个零点，求实数a的取值范围.解（1）若a=0，则f(x)=-x-1,令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题

6、意；2分若a≠0，则f(x)=ax2-x-1是二次函数，故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0，解得a=-，4分综上所述a=0或a=-.6分（2）若f(x)=

7、4x-x2

8、+a有4个零点，即

9、4x-x2

10、+a=0有四个根，即

11、4x-x2

12、=-a有四个根.8分令g(x)=

13、4x-x2

14、,h(x)=-a.作出g(x)的图象，由图象可知如果要使

15、4x-x2

16、=-a有四个根，那么g(x)与h（x)的图象应有4个交点.x分故需满足0＜-a＜4,即-4＜a＜0.∴a的取值范围是（-4,0）.14分例4用二分法求函数f(x)=x3-x

17、-1在区间［1，1.5］内的一个零点（精确度0.1）.解由于f(1)=1-1-1=-1＜0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875＞0,∴f(x)在区间［1，1.5］上存在零点，取区间［1，1.5］作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：端（中）点坐标中点函数值符号零点所在区间

18、an-bn

19、0.51.25f(1.25)＜00.251.375f(1.375)＞0[1.3x5，1.37]0.x51.3x5f(1.3x5)＜00．0625∵

20、1.375-1.3x5

21、=0.0625＜0.1，∴函数的零点落在区间长度小于0.1的

22、区间［1.3x5，1.375］内，故函数零点的近似值为1.3x5.1.求下列函数的零点：(1)y=x3-7x+6;(2)y=x+-3.解（1）∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)解x3-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0可得x1=-3,x2=1,x3=2.∴函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2.(2)∵x+解x+即=0,可得x=1或x=2.∴函数y=x+-3的零点为1

23、，2.2.已知函数f(x)=ax+(a＞1),判断f(x)=0的根的个数.解设f1(x)=ax(a＞1),f2(x)=-,则f(x)=0的解即为f1(x)=f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标.在同一坐标系中，作出函数f1(x)=ax(a＞1)与f2(x)=--1的图象（如图所示）.两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且只有一个根.3.已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.解方法一设方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的两根分别

24、为x1,x2(x1＜x2),则(x1-1)(x2-1)＜0,∴x1·x2-(x1+x2)+1＜0,由韦达定理得(a-2)+(a2-1)+1＜0,即a2+a-2＜0