§12.1 级数的收敛性

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1、《数学分析》教案第十二章数项级数武汉科技学院理学院第十二章数项级数§12.1级数的收敛性教学目标：掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质教学内容：数项级数收敛性的定义和基本性质；等比级数；调和级数．(1)基本要求：掌握数项级数收敛性的定义和基本性质，等比级数，调和级数．(2)较高要求：应用柯西收敛准则判别级数的敛散性．教学建议：(1)要求学生必须理解和掌握数项级数收敛性的定义和基本性质；掌握等比级数与调和级数的敛散性．(2)应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点，对较好的学生可提出相应要求教学程序：一、级数概念在初等数学中，我们知道：任意

2、有限个实数相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如从直观上可知，其和为1。又如，。其和无意义；若将其改写为：则其和为：0；若写为：则和为：1。（其结果完全不同）。问题：无限多个实数相加是否存在和；如果存在，和等于什么。定义1、给定一个数列，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式（1）称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中称为级数（1）的通项。4《数学分析》教案第十二章数项级数武汉科技学院理学院级数（1）简记为：，或。二、级数的收敛性记称之为级数的第个部分和，简称部分和。定义2、若数项

3、级数的部分和数列收敛于S（即），则称数项级数收敛，称S为数项级数的和，记作=。若部分和数列发散，则称数项级数发散。例1、试讨论等比级数（几何级数），的收敛性。解：见P2。例2、讨论级数的收敛性。解：见P2。三、收敛级数的性质由于级数的敛散性是由它的部分和数列来确定的，因而也可以认为数项级数4《数学分析》教案第十二章数项级数武汉科技学院理学院是数列的另一表现形式。反之，对于任意的数列，总可视其为数项级数的部分和数列，此时数列与级数有相同的敛散性，因此，有定理1（级数收敛的Cauchy准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数，使得当

4、以及对任意的正整数，都有。注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个，对任何正整数N，总存在正整数，有。推论（必要条件）若级数（1）收敛，则。注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3。例3、讨论调和级数的敛散性。解：显然，有，但当令时，有。因此，取，对任何正整数N，只要和就有，故调和级数发散。4《数学分析》教案第十二章数项级数武汉科技学院理学院例4、应用级数收敛的柯西准则证明级数收敛。证明：由于=。故对，取，使当及对任何正整数，都有。故级数收敛。定理2若级数与都有收敛，则对任意常数，级数也收敛，且。即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。定

5、理3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）。若级数收敛，设其和为S，则级数也收敛，且其和为。并称为级数的第个余项（简称余项），它代表用代替S时所产生的误差。定理4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。如：收敛，而级数是发散的。作业：P5；1,2,3,4,5,6,7.4