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时间:2018-08-03
《§12.1 级数的收敛性》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、《数学分析》教案第十二章数项级数武汉科技学院理学院第十二章数项级数§12.1级数的收敛性教学目标:掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质教学内容:数项级数收敛性的定义和基本性质;等比级数;调和级数.(1)基本要求:掌握数项级数收敛性的定义和基本性质,等比级数,调和级数.(2)较高要求:应用柯西收敛准则判别级数的敛散性.教学建议:(1)要求学生必须理解和掌握数项级数收敛性的定义和基本性质;掌握等比级数与调和级数的敛散性.(2)应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点,对较好的学生可提出相应要求教学程序:一、级数概念在初等数学中,我们知道:任意
2、有限个实数相加,其结果仍是一个实数,在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如从直观上可知,其和为1。又如,。其和无意义;若将其改写为:则其和为:0;若写为:则和为:1。(其结果完全不同)。问题:无限多个实数相加是否存在和;如果存在,和等于什么。定义1、给定一个数列,将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式(1)称为数项级数或无穷级数(简称级数),其中称为级数(1)的通项。4《数学分析》教案第十二章数项级数武汉科技学院理学院级数(1)简记为:,或。二、级数的收敛性记称之为级数的第个部分和,简称部分和。定义2、若数项
3、级数的部分和数列收敛于S(即),则称数项级数收敛,称S为数项级数的和,记作=。若部分和数列发散,则称数项级数发散。例1、试讨论等比级数(几何级数),的收敛性。解:见P2。例2、讨论级数的收敛性。解:见P2。三、收敛级数的性质由于级数的敛散性是由它的部分和数列来确定的,因而也可以认为数项级数4《数学分析》教案第十二章数项级数武汉科技学院理学院是数列的另一表现形式。反之,对于任意的数列,总可视其为数项级数的部分和数列,此时数列与级数有相同的敛散性,因此,有定理1(级数收敛的Cauchy准则)级数(1)收敛的充要条件是:任给正数,总存在正整数,使得当
4、以及对任意的正整数,都有。注:级数(1)发散的充要条件是:存在某个,对任何正整数N,总存在正整数,有。推论(必要条件)若级数(1)收敛,则。注:此条件只是必要的,并非充分的,如下面的例3。例3、讨论调和级数的敛散性。解:显然,有,但当令时,有。因此,取,对任何正整数N,只要和就有,故调和级数发散。4《数学分析》教案第十二章数项级数武汉科技学院理学院例4、应用级数收敛的柯西准则证明级数收敛。证明:由于=。故对,取,使当及对任何正整数,都有。故级数收敛。定理2若级数与都有收敛,则对任意常数,级数也收敛,且。即对于收敛级数来说,交换律和结合律成立。定
5、理3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。(即级数的敛散性与级数的有限个项无关,但其和是要改变的)。若级数收敛,设其和为S,则级数也收敛,且其和为。并称为级数的第个余项(简称余项),它代表用代替S时所产生的误差。定理4在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和。注意:从级数加括号后的收敛,不能推断加括号前的级数也收敛(即去括号法则不成立)。如:收敛,而级数是发散的。作业:P5;1,2,3,4,5,6,7.4
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