复变函数课程教学纲要

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1、《复变函数》课程教学纲要一、课程概述（一）课程学时与学分课程代码：1302，开课专业：数学与应用数学（师范）专业，第5学期开课;课程总学时68学时，4学分。（二）课程性质复变函数论是数学专业的一门重要的专业基础课。它是数学分析、高等代数等课程的进一步延伸,又是近代分析学的基础。它的思想方法是许多后续课程得以展开的保证。属于院专业必修课。（三）教学目的开设本课程的基本目的是使学生掌握复变函数的基本理论和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为掌握复变函数在自然科学中的广泛应用奠定良好的数学基础。（四）本课程与其他课程的联系与分工本课程是在学生学习了数学分析、高等代数及其概

2、率论与数理统计的基础上开设的,并在之后开设离散数学,数值分析等进一步的数学课程的本科学习中起到基础和工具的作用,是学习数学和应用数学专业的必备课程。二、课程教学的基本内容与要求（一）教学要求复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。（二）课程总学时数与课程学时分配1、总学时:174=68(学时)2、学时分配表章　次内　容学　时引言复变函数论的基本思想1第一章

3、复数与复变函数8第二章解析函数9第三章复变函数的积分9第四章解析函数的幂级数表示法9第五章解析函数的洛朗展开与孤立奇点9第六章留数理论及其应用7第七章共形映射9第八章解析延拓7合计68（三）教学内容绪　论　复变函数论的基本思想第一章复数与复变函数（一）教学目的及要求1、   理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。2、 理解复数的性质、会应用模和辐角的性质，会作点集的图形。3、   进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。（二）教学重点与难点重点:复变函数及其极限与连续。难点:无穷远点及无穷远点邻域。（三）教学方式讲授,练习。（四）教

4、学内容1、  复数发展史略；2、复数的定义及运算。复数的定义、复数的表示式及代数运算、复数的模和辐角、共轭复数。3、   复平面上的点集。平面点集、邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、边界、开集、闭集、有界集、曲线、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线、光滑曲线、逐段光滑曲线、区域、闭区域、单连通区域、复连通区域、聚点原理、有限复盖定理、闭区域套定理。4、复变函数。复变函数、单值函数、多值函数、极限、连续、一致连续、柯西收敛准则、复变函数连续性与其实部和虚部连续性的关系，闭区域上连续函数的性质。5、复球面与无穷远点。复平面、复数的向量式、三角式与指数式、复数的乘冥与n次方根、无穷远点

5、与复球面、扩充复平面无穷远点的邻域。第二章解析函数（一）教学目的及要求1、  理解导数、解析函数的定义、性质及充要条件。2、    理解函数在一点解析与函数在一点可导的区别。3、   熟练掌握利用C—R条件判别解析函数的方法。4、    熟练掌握已知解析函数的实部或虚部，求该解析函数的方法。5、    熟练求多值函数的交点、及满足条件的分交在指定点处的函数值。6、     联系中学教学、认识复变函数中各类基本初等函数与相应初等函数的异同。（二）教学重点与难点重点:解析函数的定义，解析函数的充要条件及C—R条件、指数函数与指数函数的定义及其主要性质。难点:交点的概念。（三）教学方式讲

6、授,练习。（四）教学内容1、 解析函数的概念与柯西-黎曼方程。复变函数的导数与微分、函数在一点解析的定义、函数在区域内解析的定义、C—R条件、解析函数的充要条件。2、  初等解析函数初等解析函数的定义、指数函数及其重要性质、三角函数与双曲函数。3、    初等多值函数。根式函数、对数函数、一般幂函数与一般指数函数、具有多个有限支点的情形、反三角函数与反双曲函数。第三章复变函数的积分（一）教学目的及要求1、理解复积分的概念。2、理解柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式，认识以上定理和公式的作用，知道证明方法。3、理解刘维尔定理、摩勒拉定理和代数基本定理，知道证明方法。4、熟练掌

7、握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积分。（二）教学重点与难点重点:柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式。难点:计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。（三）教学方式讲授,　练习。（四）教学内容1、复积分的概念、性质和计算。2、柯西积分定理。单连通区域的柯西积分定理、复连通区域的柯西积分定理。3、柯西积分公式与高阶导数公式、柯西积分定理与积分公式的应用。4、解析函数与调和函数的关系。第四章解析函数的幂级数表示法（一）教学目的及要求1、  理解一致收敛、内闭