《复变函数》课程

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1、《复变函数》课程教学大纲（应用数学系本科使用）一、课程说明复变函数是数学的最重要的分支之一，同时在数学的其他分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）以及在自然科学的其他领域（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）都有着重要的应用。本课程仅涉及复变函数的最基本的内容，它一方面为后继课程提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。二、课程教学内容与课时安排章教学内容参考学时1复数及复平面62复变函数93复变函数的积分64级数125留数66保形映射12三、课程使用的教材与参考书教材：《复变函数》（第四版）．余家荣编著．高等教育出版社出版，1979.2参考书：1、《复

2、变函数论》．钟玉泉编著．高等教育出版社，1979.8　　　　2、《复变函数》（第二版）．路见可，钟寿国，刘士强编著．武汉大学出版社，1993.123、《复变函数》．孙清华，夏敏学，吴菊珍，杨建华，李金兰编著．湖北科技术出版社，1998.14、《复分析》．郑建华编著．清华大学出版社，2000.35、《复变函数内容、方法与技巧》．孙清华,孙昊编．华中科技大学出版社，2003.7四、课程教学重点与难点第一章复数及复平面重点、难点分布1、复数域、复平面、复球面；2、平面点集的几个基本概念、区域与曲线。第二章复变函数重点、难点分布1、极限与连续性、导数．解析函数、柯西-黎曼条件；2、指数函数、对数函数

3、、三角函数，幂函数。第三章复变函数的积分重点、难点分布1、复变函数的积分、柯西定理；2、柯西公式。第四章级数重点、难点分布1、复数项级数和复数序列、复变函数项级数和复变函数序列、幂级数；2、解析函数的泰勒展式；3、解析函数的洛朗展式、解析函数的孤立奇点、解析函数在无穷远点的性质。第五章留数重点、难点分布1、留数定理、留数的计算；2、积分的计算（Ⅰ）、积分的计算（Ⅱ）。第六章保形映射重点、难点分布1、单叶解析函数的映射性质；2、分式线性函数、分式线性函数的映射性质。五、课程考核方法与要求本课程考核以笔试为主，检查学生对复变函数的基本概念、基本理论及基本运算的掌握程度；检查学生运用这些基本理论解

4、决实际保险问题。平时成绩不得超过30%，期末考试成绩不低于70%。六、课程教学内容及要求第一章复数及复平面（6课时）[内容提要]§1.1复数及其几何表示复数域，复平面，复球面及无穷大§1.2复平面的拓扑平面点集的几个基本概念、区域与曲线[基本要求]1、掌握复数的各种表示法及其相互转化，会用复数的各种表示进行运算；2、理解复球面及无穷大，平面点集的几个基本概念、区域与曲线概念、了解约当定理。第二章复变函数（9课时）[内容提要]§1.1解析函数极限与连续性、导数．解析函数、柯西-黎曼条件§1.2初等函数指数函数、辐角函数、对数函数、幂函数、三角函数[基本要求]1、理解复变函数概念，复变函数的极限

5、与连续性，复变函数的导数，掌握解析函数的概念与柯西-黎曼条件；2、掌握复变初等函数的定义及其有关性质，了解初等多值解析函数。第三章复变函数的积分（6课时）[内容提要]§1.1柯西定理复变函数的积分、有关证明柯西定理的几个引理、柯西定理§1.2柯西公式柯西公式、莫勒拉定理。[基本要求]1、理解复变函数的积分的定义、性质、会用定义计算一些简单积分、掌握柯西定理，了解有关证明柯西定理的几个引理；2、掌握柯西公式，了解莫勒拉定理。第四章级数（12课时）[内容提要]§1.1级数和序列的基本性质复数项级数和复数序列、复变函数项级数和复变函数序列、幂级数§1.2泰勒展式解析函数的泰勒展式、零点、解析函数的

6、唯一性§1.3洛朗展式解析函数的洛朗展式、解析函数的孤立奇点、解析函数在无穷远点的性质、整函数与亚纯函数概念[基本要求]1、理解复数项和复变函数项级数的基本概念和性质、掌握幂级数及其收敛性；2、掌握将解析函数展开成幂级数的方法、了解零点的孤立性及内部唯一性；3、掌握将解析函数展开成洛朗级数的方法、理解函数在无穷远点的性质、了解整函数与亚纯函数概念第五章留数（6课时）[内容提要]§1.1一般理论留数定理、留数的计算§1.2留数计算的应用积分的计算（Ⅰ）、积分的计算（Ⅱ）、亚纯函数的零点与极点的个数·儒歇定理[基本要求]1、掌握留数的概念及定理、掌握留数的计算方法；2、理解亚纯函数的零点与极点的

7、个数的定理、了解儒歇定理及其应用。第六章保形映射（12课时）[内容提要]§1.1单叶解析函数的映射性质一般概念、导数的几何意义§1.2分式线性函数及其映射性质分式线性函数、分式线性函数的映射性质、两个特殊的分式线性函数§1.3黎曼定理最大模原理·施瓦茨引理、黎曼定理及边界对应概念、实例[基本要求]1、掌握单叶解析函数的性质、理解导数的几何意义；2、掌握分式线性函数及其映射性质；3、了解施瓦茨引理、理解黎曼定理