复变函数 课程教学大纲

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1、复变函数课程教学大纲适用专业：本科数学各专业学时：50先修课程：数学分析、高等代数制定日期：2002年9月一、本课程的地位和作用复变函数论是数学各专业的一门重要基础课，也是数学分析的一门后继课程。本课程用分析的、几何的、代数的等方法研究复变量的解析函数的有关问题，已经形成了十分丰富、系统、完美、和谐的理论体系，其理论和方法已经渗入到纯粹数学和应用数学的各个分支，同时在流体力学、空气动力学、弹性力学、电磁学、热学、电工及通讯等方面都有着极其重要的应用。另外，还可以利用复变函数论知识解决中学数学中的问题。学习复变函数论这门课程，可以使学生获得必要的数学知识修养

2、，提高数学素质，锻炼逻辑思维和复杂的计算能力，并为学生学习后继课程打下良好的基础。二、本课程的教学目标通过讲授本课程，使学生获得：（1）复变函数的积分理论；（2）复变函数的级数理论；（3）复变函数的几何理论等方面的基本概念、基本理论和基本方法。认识到高等数学对初等数学的指导作用；认识到一些不同数学分支之间的内在联系和互相影响。培养学生的运算能力，抽象思维能力和逻辑推理能力。三、课程内容和基本要求（一）复数与复变函数1．教学基本要求（1）详细介绍引进复数的过程以及复数在整个数学发展过程中所起的重要作用；（2）熟练掌握复数的三种形式的表示法，复数的代数运算。（

3、3）掌握用复数解决几何问题的思想和方法。（4）了解复平面上点集的一般概念，能用复数方程或不等式表示常见的区域和曲线。（5）能精确叙述复变函数的极限与连续的概念，掌握其基本性质。（6）详细介绍引进扩充复平面的思想和方法，说明紧化的重要作用。2．教学内容（1）*复数及其运算。复平面。*复数的模与辐角及其三种表示法。（2）△复数的乘幂与方根。（3）复数在几何中的应用。（4）复平面上点集的有关概念。*区域、曲线的有关概念，约当定理。△复数方程表示曲线以及不等式表示区域。（5）*△复变函数与映射（或变换）的概念，一个复变函数与一对二元实变函数的关系。（6）复变函数的

4、极限的概念及性质。（7）复变函数连续性的概念、运算法则及性质。（8）无远点，扩充复平面与球面，扩充复平面上的四则运算。（二）解析函数1．教学基本要求（1）要求学生深刻理解复解析函数的概念以及可导的定义，弄清这两个概念之间的联系与区别。（2）牢固掌握Caucly-Riemann方程与复值函数可微解析的等价刻画，并要求学生能熟练运用Caucly-Riemann方程判定函数的可微性、解析性以及论证解析函数的一些基本性质。（3）熟练掌握和运用解析函数的求导法则和求导公式。4（4）牢固掌握三类初等解析函数（即指数函数、三角函数和双曲函数）的定义、基本性质及其相互关系

5、与内在联系。（5）介绍初等多值函数的概念以及它们的性质，了解其多值性。2．教学内容（1）复变函数的导数与微分。（2）*△解析函数的概念与基本性质。（3）*Cauchy-Riemann方程与Cauchy-Riemann条件。（4）解析函数的求导公式与求导法则。（5）*复变函数的可微性与解析性的等价刻画、充分条件与必要条件。（6）初等解析函数：指数函数，三角函数，双曲函数（7）△初等多值函数：根式函数，对数函数，一般幂函数，反三角函数。（三）复变函数的积分1．教学基本要求（1）掌握沿有向曲线上复变函数积分的概念与基本性质，计算方法以及复变函数积分与二元实变函数

6、的第二型线积分的联系。（2）解析函数的Cauchy积分定理是本章的核心。要求学生熟练掌握和运用Cauchy积分定理，柯西积分公式和高阶导数分式。（3）理解解析函数在单连通区域内的不定积分的概念。（4）掌握Cauchy不等式，Liourille定理，了解Morera定理，并会利用这些结论解决一些问题。尤其用Lioarille定理证明代数学基本定理，通过用复分析的方法证明代数学基本定理这一事实，让学生认识到不同数学分支间的相互联系和相互渗透。（5）掌握调和函数的概念以及解析函数与调和函数的关系。2．教学内容（1）复变函数积分的定义及其基本性质与计算。（2）*单

7、连通区域内的Cauchy积分定理。（3）△不定积分。（4）多连通区域内的Cauchy积分定理。（5）*Cauchy积分公式。*解析函数的无穷可微性定理。高阶导数公式。（6）Cauchy不等式。Liourille定理。代数学基本定理的证明。Morera定理。（7）调和函数的概念。解析函数与调和函数的关系。（四）解析函数的幂级数表示法1．教学基本要求（1）理解复函数项级数的概念，掌握一致收效性的判别法。（2）掌握幂级数的基本性质，会利用公式求幂级数的收敛半径。（3）理解解析函数的幂级数定义的等价性。（4）牢记常用初等解析函数的幂级数展开式，并能熟练运用。（5）

8、掌握解析函数的零点孤立性定理，解析函数的唯一性定理。（6）掌握解析