《复变函数论》课程教学大纲

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1、《复变函数论》课程教学大纲课程编号：03110094课程性质：专业必修课先修课程：数学分析总学时数：72学分：4适合专业：数学与应用数学（一）课程教学目标《复变函数论》是数学与应用数学专业的一门重要基础课，又是《数学分析》的后继化、完备化课程。它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。通过本课程的教学，使学生对复变函数的一些基本概念、基本理论、基本方法有较深刻的认识和理解并掌握，培养学生应用这些概念与方法解决实际问题的基本技能，加深对《数学分析》中基础理论的理解；认识到高等数学对初等数学的指导作用；认识到

2、一些不同数学分支之间的内在联系与相互影响，并对现代数学不同学科间的内在联系与相互渗透有一个初步的了解；进一步锻炼学习者的能力，培养和提高分析问题和解决问题的能力；为学习有关专业和扩大数学知识面提供必要的数学基础。（二）课程的目的与任务复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识；使学生逐步提高数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高；同时极大的扩展学生的学习思路，使他们了解更多的应用知识，特别是和现代生活息息相关的数学应用知识。复变函数论在联系和指

3、导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而提高做好中学数学教育工作的能力。（三）理论教学的基本要求《复变函数论》研究的主要对象是解析函数，通过本课程的学习，要求学生了解复函数的概念、性质和解析函数的特性；理解解析函数的基本概念和基本理论（积分理论、级数理论、几何理论）；掌握用复变函数论的基本方法解决问题的方法（复数的计算、判断复函数的可微性及解析性、复积分的计算、复函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求简单的共性映射等）；巩固和加深理解微积分学的有关知识。（四）教学学时分配数

4、章次各章名称总学时学时分配讲课习题课小计一复数与复变函数8718二解析函数1210212三复变函数的积分1210212四解析函数的幂级数表示法108210五解析函数的洛朗展式与孤立奇点1210212六留数理论及其应用108210七共性映射8628八解析延拓选讲九调和函数选讲（五）大纲内容第一章复数与复变函数1．教学目的复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。本章主要介绍复数和复变函数的基本概念，通过本章教学，使学

5、生明确复变函数要研究的对象是解析函数，其理论基础是建立在复数域和复平面上。2．教学基本要求理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑（逐段光滑）曲线、无穷远点、扩充复平面等概念；理解复数的性质，掌握复数的运算，理解复数的模和辐角的性质；理解并掌握复变函数极限与连续性的概念与性质；进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。3．教学内容§1复数§2复平面上的点集§3复变函数§4复球面与无穷远点4．教学重点和难点重点是复变函数的概念、极限与连续性；难点是无穷远点及无穷远点邻域。5．学法指导以自习为主，通过讲授1节习题课来加强学生对该章主要

6、概念的理解。6．作业习题（一）4、5、6、7、8、11、13、15、16、19、20；习题（二）3、4、57．小结本章主要介绍复数与复变函数的基本概念，复数的概念和性质在中学数学中已学过，学生比较容易理解。复变函数的极限理论与实函数的极限理论相似，但由于复变函数理论是建立在复数域或复平面上的，因此与实函数的理论又有所不同，学生在学习时应比较相同点和不同点，这样既对已经学过的知识进行总结复习，又能更快接受并理解新知识。第二章解析函数1．教学目的解析函数是本课程的主要研究对象，通过本章教学，使学生理解解析函数的概念和判定函数解析的充要条件，为后面学习解

7、析函数的其他性质奠定基础，掌握简单的初等多值函数理论。2．教学基本要求理解解析函数的定义、性质及其充分必要条件；了解函数在一点解析与函数在一点可微的区别，熟练掌握利用柯西-黎曼条件判别解析函数的方法；掌握指数函数、三角函数的定义和性质，注意与实指数函数、实三角函数的区别；了解初等多值函数单值化方法（限制辐角或割破平面）；熟练掌握解析函数在单叶性区域内由初值确定终值；理解反三角函数、一般幂函数、一般指数函数的定义与计算。3．教学内容§1解析函数的概念与柯西-黎曼方程§2初等解析函数§3初等多值函数4．教学重点和难点重点是解析函数的定义，利用柯西-黎曼

8、条件判别解析函数的方法；难点是初等多值函数分出单值解析分支，由已给单值解析分支的初值计算终值。5．学法指导以课堂讲授为主，