《复变函数论》教学大纲

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1、《复变函数》　　课程名称：复变函数　　英文名称：TheoryofFunctionsofaComplexVariable　　适用对象：数学与应用数学专业函授生　　先修课程：数学分析　　执笔人：于兴江审定人：孟晗　　　　一、课程的性质、目的和任务　　《复变函数》课程是数学与应用数学专业函授生的一门必修课。它在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）及其它领域（如流体力学、弹性力学、电学、工程技术…）有着广泛应用。另外，它的某些内容与中学数学教育还有着密切联系。通过本课程的学习,使学生系统掌握复变函数的基本理论与方法,从而增强分析问题

2、与解决问题的能力。　　开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定的解决实际问题的能力，再就是使学生对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增强做好中学数学教育工作的能力。　　学习复变函数课程需要数学分析课程的有关知识，同时它也为泛函分析与数学物理方程等后继课的学习做好了必要的准备。　　　　二、课程教学和教改基本要求　　熟练掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展开与罗朗展开、留数理论、保形变换、解析开拓、

3、调和函数等有较深入的了解。　　　　三、课程各章节重点与难点、教学要求与教学内容、学时分配　　　　第一章复数与复变函数　　重点难点：　　无穷远点与扩充复平面　　教学要求：　　1.1．熟练掌握复数的模与幅角、复数的三种表示、复数的基本性质，掌握复数的乘幂与方根的求法，会用复数表示平面图形，会用复数解决一些简单的几何问题。　　1.2．理解平面点集的几个基本概念，理解区域与约当曲线的概念，了解约当定理，会区分单连通区域与多连通区域。　　1.3．充分理解复变函数、多值函数、反函数等概念，理解复变函数的几何表示，会求简单平面图形的变换象（或原象），理解复变函数的极限，掌握极限的等

4、价刻划定理，理解复变函数的连续性及其等价刻划定理，熟悉有界闭集上连续函数的性质。　　1.4．了解复球面，理解无穷远点与扩充复平面。　　教学内容：　　复数的表示，复数的性质与运算，平面图形的复数表示，区域与约当曲线，复变函数的概念，复变函数的极限与连续性，复球面，无穷远点与扩充复平面。　　　　第二章解析函数　　重点：解析函数的概念，解析函数的充要条件。　　难点：支点的概念，具有多个支点的多值函数。　　教学要求：　　2.1．理解复变函数的导数的概念，掌握解析函数的定义及其简单性质，熟练掌握解析函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件。　　2.2．熟练掌握指数函数的定义与主要

5、性质，掌握三角函数的定义与基本性质，了解双曲函数定义与基本性质。　　3.3．掌握幂函数与指数函数的变换性质与单叶性区域，理解并逐步掌握通过限制幅角或割破平面的方法求根式函数和对数函数的单值解析分支，了解一般幂函数与一般指数函数，理解并掌握求具有多个支点的多值函数的支点从而使其能分出单值解析分支的方法，会由已知单值解析分支的初值计算终值，了解反三角函数与反双曲函数。　　教学内容：　　复变函数的导数与微分，解析函数及其简单性质，柯西-黎曼条件，指数函数，三角函数，双曲函数，根式函数，对数函数，一般幂函数与一般指数函数，具有多个支点的多值函数，反三角函数与反双曲函数。　　　

6、　第三章复变函数的积分　　重点：柯西积分定理，柯西积分公式。　　难点：柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数与调和函数的关系。　　教学要求：　　3.1．理解复变函数的积分的定义，掌握复积分的性质与计算方法。　　3.2．掌握柯西积分定理及其等价形式和两种推广形式以及它们的应用，掌握不定积分特别是由变上限积分确定的单值解析函数，会用牛顿-莱布尼兹公式计算复定积分。　　3.3．熟练掌握柯西积分公式与高阶导数公式，掌握解析函数的平均值定理、无穷可微性以及它的第二个等价刻划定理，掌握柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理。　　3.4．掌握调和函数与共轭调和函数的概念，理解解析函数与调

7、和函数的关系，掌握由解析函数的实部（或虚部）求虚部（或实部）的两种方法。　　教学内容：　　复变函数的积分的定义、性质与计算，柯西积分定理及其推广，不定积分，柯西积分公式或高阶导数公式，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，刘维尔定理，摩勒拉定理，解析函数与调和函数的关系。　　　　第四章解析函数的幂级数表示法　　重点：解析函数的第三充要条件，第四充要条件，解析函数的唯一性定理，解析函数零点的孤立性。　　难点：解析函数的唯一性定理，解析函数零点的孤立性。　　教学要求：　　4.1．理解复数项级数敛散性的定义，掌握其收敛性的两个刻划定理，掌握复级数的绝对收敛性及