复变函数论教学大纲

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1、复变函数论课程教学大纲一、课程说明1、课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气

2、动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。2、课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。同时注意扩展

3、学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后工作中有较高的起点。3、先修课程与后续课程先修课程：数学分析，解析几何，高等代数后续课程：数学建模，概率论与数理统计，拓扑学，解析数论等4、教学时数分配表86章　节　目　录课时分配第一章复数与复变函数第一节复数28第二节复平面上的点集2第三节复变函数3第四节复球面1第二章解析函数第一节解析函数的概念与柯西-黎曼方程412第二节初等解析函数2第三节初等多值函数6第三章复变函数的积分第一节复积分的概念及简单性质21

4、0第二节柯西积分定理3第三节柯西积分公式及推论3第四节解析函数和调和函数的关系2第四章解析函数的幂级数表示法第一节复级数的基本性质212第二节幂级数3第三节幂级数和函数的泰勒展式3第四节解析函数零点的孤立性及唯一性定理4第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第一节解析函数的洛朗展式412第二节解析函数的(有限)孤立奇点4第三节解析函数在无穷远点的性质2第四节整函数与亚纯函数的概念2第六章留数理论及其应用第一节留数414第二节用留数定理计算实积分4第三节辐角原理及其应用6总　课　时　数685、使用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉编；高等教育出版社。6、教学方法

5、与手段（1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析；（2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于单独发表自己的见解；（3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；86（4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。7、考核方式本课程考核以笔试为主，是一门考试课程，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。平时作业成绩占20%，考试成绩占80%。8、主要参考书目1、《复变函数学习指导书》，钟玉泉，高等教育出版

6、社。2、《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社。3、《复变函数》史济怀，刘太顺，中国科学技术大学出版社。4、《多复变函数》[美]那托西姆汉著，科学出版社。二、课程内容第一章：复数及复平面（8课时）第一节复数（2课时）1、教学目的和要求理解复数的定义，代数表达，四则运算，共轭；复数与平面上点一一对应关系，复平面在几何中的应用；复平面与平面向量的关系，复数的模，辐角，三角表达式，复球面与无穷大。2、教学要点与知识点教学要点：复数与平面上点一一对应关系，复平面在几何中的应用；复平面与平面向。量的关系，复球面与无穷大。知识点：复数与平面上点一一对应关系。3、重

7、点和难点重点：复平面在几何中的应用；复平面与平面向量的关系。难点：复平面在几何中的应用；复球面与无穷大。第二节复平面上的点集（2课时）1、教学目的和要求理解初步概念：内点、外点、边界点、聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等，约当曲线、区域的概念。2、教学要点与知识点教学要点：聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等，约当曲线、区域的概念知识点：聚点、约当曲线、区域的概念。863、重点和难点重点：聚点、约当曲线、区域的概念。难点：复角、单、复连通区域的概念。第三节复变函数（3课时）1、教学目的和要求理解复变函数的定义，掌握复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限

8、连续性的等价性。2、教学要点与知识点教