复变函数前5章知识纲要

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1、复变函数复变函数复习第一章1、z=x+iy中实部为x,虚部为y而不是yi；2、而不是第二章1、设，那么的必要与充分条件是且。2．需要知道的例题（1）讨论初等函数：secz，cscz，tanz，cotz，shz，chz的连续性。由于在整个复平面上连续。所以，,(2)讨论函数argz的连续性设z0为复平面上任意一点，那么当z0=0时，argz在z0无定义，故argz在z0＝0处不连续。当z0落在负实轴上时，由于，argz在z从实轴的上方趋于z0时，argz趋于，在z从实轴的下方趋于z0时，argz趋于.因而argz此时不连续。当z0

2、为其它情况时，由于所以argz连续。（3）讨论对数函数Lnz的连续性因为,而ln

3、z

4、在除原点和负实轴以外处处连续,反以Lnz的各个分支和其主值函数lnz在除去原点和负实轴以外的复平面上处处连续.注:可导的函数一定连续.3、函数在定义域内一点可导的必要与充分条件是：和在点可微，并且在该点满足柯西—黎曼方程注：如果可导，必须同时满足，只满足其中的一个式子不一定可导！！！4、求导公式：第6页共6页创建时间：2008-11-2117:29:00复变函数这个公式可以求.5、判定在处是否可导，可根据是否存在来判定，如果不存在肯定不可导。6

5、、已知函数的实部或虚部求解函数表达式的方法（三种）（1）偏积分法例1、已知是调和函数求解析函数解：(c为实数)(为实数)（2）不定积分法.同上例:(c为实数).(3)线积分法同上例第6页共6页创建时间：2008-11-2117:29:00复变函数(为实数)(为实数)第三章1、例1（这是一个比较重要的结论，解题方法也是我们应该掌握的）计算积分，其中C为以为圆心，为半径的正向圆周，为整数。解:C的方程可以写作()当时,当时2、柯西定理：设C是一条简单正向闭曲线，在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么3、复合闭路定理：设D为由外线路C

6、0及内线路C1，C2，…，Cn围成的有界多连通域，在多连通域D内及边界线C0，C1，C2，…，Cn上解析，那么（此定理可以用作求区域内含奇点的沿边界的积分）例如：求积分，其中C为。解：以0和1为圆心在C内取两个半径为0.5的圆，设其边界为C1，C2则有复合闭路定理有：第6页共6页创建时间：2008-11-2117:29:00复变函数所以3、如果是定义在C上的解析函数，则只与和z有关，与积分路径无关。4、柯西积分公式：设在简单正向闭曲线C及所围成的区域D内处处解析，为D内任一点，那么5高阶导数公式：设在简单正向闭曲线C及所围成的区

7、域D内处处解析，为D内任一点，那么，这里n=0,1,2,…高阶导数应用的例子:求4其中C为由高阶导数公式可知所以第四章1、若，则收敛，收敛2、若级数收敛，则级数必收敛。3、收敛半径求法1：求法2：；对于含有不连续项的级数求收敛半径时,不能再用上面的公式.我们应该利用定理计算比如:第6页共6页创建时间：2008-11-2117:29:00复变函数求级数的收敛半径所以原级数的收敛半径是2.(如果用公式来算的话,结果是1,不信你算算).4、幂级数和函数的求法。我们知道幂级数和函数的性质是和函数XXX在其收敛圆内

8、是解析的，那么它在其收敛域内是可以逐次求导，逐次积分。例如求的和函数=（

9、z

10、<1）5、罗朗级数对于将函数表达式展成罗朗级数，我们一般是利用一些已知函数的函数展开式来将表达式展开。所以我们要注意已知函数的收敛半径，并利用题目已给的条件，化成满足条件的形式。例如：（）展成罗朗级数。如果我们用来求解的时候，要求

11、z

12、<1所以我们可以把函数表达式化成这样的形式如果z的取值范围是我们要把其中一些式化成含有的形式。第五章1、孤立奇点第6页共6页创建时间：2008-11-2117:29:00复变函数（1）、可去奇点判定：存在且有限（2）极点

13、判定：利用罗朗级数，或者用存在。（3）本性奇点判定：罗朗级数（既非可去奇点，也不是极点）2、m阶极点和零点的关系3、留数的计算(1)如果是函数的一级极点，则在的某一去心邻域D：内(2)如果在D：内，，，在D内解析，而则是的一阶极点。则（3）如果是函数的k级极点，则在的某一去心邻域D：内(4)设函数在（）内解析，C为圆周

14、z

15、=r,其中r>R,则有（5）（6）（在除孤立奇点外处处解析）第6页共6页创建时间：2008-11-2117:29:00