数学导数空间角圆锥曲线复习

《数学导数空间角圆锥曲线复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、复习提纲2011-5-23一、空间的角的计算（利用空间向量的方法，常建立空间直角坐标系）1．异面直线所成的角（1）设两异面直线所成的角为q，它们的方向向量为，，则cosq＝

2、cos<,>

3、＝（2）范围：(0，]2．直线与平面所成的角（1）设直线l与平面a所成的角为q，l的方向向量为，平面a的法向量为，则sinq＝

4、cos<,>

5、＝（2）范围：[0，]※注意：求平面的法向量①若已存在，则只需证明该向量与平面内的两条交线垂直（即数量积等于0）；②用待定系数法求法向量，列三元一次方程组（两条交线对应两个方程）3．二面角（1）设二面角a－

6、l－b的平面角为q，平面a、b的法向量为、，则

7、cosq

8、＝

9、cos<,>

10、＝（2）范围：[0，p]二、导数及其应用1．导数的概念（1）平均变化率：＝＝＝．（2）瞬时变化率＝＝，当△x无限趋近于0时，平均变化率就无限趋近于函数在x0点的瞬时变化率．※注意：当△t→0时，平均速度＝→瞬时速度v，即瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率；当△t→0时，平均加速度＝→瞬时加速度a，即瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率．（3）导数当△x→0时，→A，称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f’(x0)或y

11、’

12、x＝x．若f(x)在开区间(a，b)内每一点都有导数，则称f(x)在区间(a，b)内可导，对任一个x0∈(a，b)都对应一个f’(x0)，这样构成(a，b)内一个新的函数，称为f(x)在(a，b)内的导函数，简称导数，记作f’(x)或y’．2．导数的几何意义（1）函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，∴过切点的切线方程为y－y0＝f’(x0)(x－x0)．※注意：①“在某点的切线”和“过某点的切线”的含义不同，前者表示该点一定是切点（该点也一定在曲线上），而后者则

13、未必（可能是切点也可能不是，可能在曲线上也可能不在）．②在曲线上的一点作曲线的切线，至多有一条（有可能不存在）；而曲线的切线与曲线的公共点可能不止一个．（2）确定函数y＝f(x)在点x＝x0处导数的基本方法方法一：导数定义法①求函数的增量△y＝f(x0＋△x)－f(x0)；②求平均变化率＝；③令△x→0，得→A，即f’(x0)．方法二：导函数的函数值法①求函数f(x)在开区间(a，b)内的导函数f’(x)；②将x0∈(a，b)代入3．导数的计算（1）四则运算[f(x)±g(x)]’＝f’(x)±g’(x)[Cf(x)]’＝Cf’(

14、x)，其中C为常数[f(x)·g(x)]’＝f’(x)·g(x)＋f(x)·g’(x)[]’＝（2）简单初等函数的导数C’＝0，C为常数；(xa)’＝axa－1，a∈Q特别的，x’＝1，(x2)’＝2x，(x3)’＝3x2，()’＝－，()’＝；(ax)’＝axlna（a＞0，且a≠1）特别的，(ex)’＝ex；(logax)’＝logae＝（a＞0，且a≠1）特别的，(lnx)’＝；(sinx)’＝cosx，(cosx)’＝－sinx（3）复合函数的导数：yx’＝yu’·ux’一般按以下三个步骤进行：①适当选定中间变量，正确分解

15、复合关系；　　②分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；　　③把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。　　也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y＝f(u)，u＝g(x)（一般内层为一次函数）；然后将已知函数对中间变量求导（yu’），中间变量对自变量求导（ux’）；最后求yu’·ux’，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解－求导－回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。（4）可导的奇函数的导函数是偶函数；可导的偶函数的导函数是奇函数4．函数的单调性与

16、导数（1）若f’(x)＞0，则f(x)为增函数；若f’(x)＜0，则f(x)为减函数；若f’(x)＝0恒成立，则f(x)为常数函数．（类似有在某区间内的单调性判断）※注意：可导函数y＝f(x)在某个区间内f’(x)＞0是函数f(x)在该区间上为增函数的充分条件．（2）若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f’(x)≥0，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f’(x)≤0，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）。※导数求单调性可用于证明不等式（不等式一端化

17、为0）5．函数的极值与导数（1）设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说是f(x0)函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说是f(x0