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时间:2018-05-02
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1、第一讲空间角的计算洗马高中蔡其友一、高考要求空间角的计算在高考中通常有一道解答题,题目为中等难度,这是作为立体几何中重点考查的内容之一,解题时要注意计算与证明相结合.二、两点解读重点:①求异面直线所成的角;②求直线与平面所成的角;③求二面角.难点:二面角的作法与求法.三、课前训练1.正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1,侧棱长为,则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是()(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°2.A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=
2、CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是()(A)(B)(C)(D)3.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则与平面所成角的余弦值为.4.已知正四棱锥的体积为12,底面的对角线长为,则侧面与底面所成的二面角等于.四、典型例题例1正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1,侧棱长为,则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是()(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°例2是从点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为,那么直线与平面所成角的余弦值是()(A)(B)(C)(D)例3如图,∠BAD=90°的等腰直角
3、三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直,E是BC的中点,则AE与平面BCD所成角的大小为_____________.例4若正三棱锥底面边长为4,体积为1,则侧面和底面所成二面角的大小等于____(结果用反三角函数值表示).例5在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=,SB=.(Ⅰ)证明:SC⊥BC;(Ⅱ)求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小;(Ⅲ)求异面直线SC与AB所成的角的大小(用反三角函数表示).ABCA1B1C1例6已知如图斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90
4、°,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.(Ⅰ)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;(Ⅱ)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;(Ⅲ)求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离.过关练习1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为()ABCC1A1B1(A)75°(B)60°(C)45°(D)30°2.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为()(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°3.已知球O的半径是1,A、、C三点都在球面上,A、B两点和A、C两点的球面距离都
5、是,B、C两点的球面距离是,则二面角B-OA-C的大小是()(A)(B)(C)(D)4.α,β是两个不同的平面,m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断:①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:.5.设命题甲:“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”;命题乙:“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正方体”.那么,甲是乙的条件.6.若正四棱锥的底面边长为2cm,体积为4cm3,则它的侧面与底面所成的二面角的大小是.7.如图,P是边长为1的正六边
6、形ABCDEF所在平面外一点,PA=1,P在平面ABC内的射影为BF的中点O.(Ⅰ)证明PA⊥PB;(Ⅱ)求面APB与面DPB所成二面角的大小.8.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,DC=2,AA1=,AD⊥DC,AC⊥BD,垂足为E.(Ⅰ)求证:BD⊥A1C;(Ⅱ)求二面角A1-BD-C1的大小;(Ⅲ)求异面直线AD与BC1所成角的大小.空间角计算参考答案课前训练1.B2.A3.4.;典型例题例1.B例2.C例3.45°例4.例5(Ⅰ)略(Ⅱ)解:∵BC⊥AC,SC⊥BC,∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角.在R
7、t△SCB中,由BC=,SB=,得SC===4.在Rt△SAC中,由AC=2,SC=4,得cos∠SCA=.∴∠SCA=60°,即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60°.图9—65(Ⅲ)解:过点C作CD∥BA,过点A作BC的平行线交CD于D,连结SD,则∠SCD是异面直线SC与AB所成的角.如图9—65.又四边形ABCD是平行四边形,DC=AB=,SA=,SD==5.在△SCD中,cosSCD=∴SC与AB所成的角的大小为arccos.例6.解:(Ⅰ)作A1D⊥AC,垂足为D,由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC∴∠A1AD为A1A与面
8、ABC所成的角.∵AA1⊥A1C,AA1=A1C,∴∠A1AD=45°为所求.(
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