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1、13级研究生现代数字信号处理作业(I)完成人1:姓名(学号)完成人2:姓名(学号)完成人3:姓名(学号)完成人4:姓名(学号)完成人5:姓名(学号)XXXX年XX月XX日13级研究生现代数字信号处理作业题(I)一、已知模拟信号,现以采样频率对其进行均匀采样,得到离散时间信号。假设从时刻开始采样,共采样个点,分析以下问题:(1)写出的表达式。采样周期:的表达式为:整理得:(2)判断是否为周期序列,如果是周期序列,确定其最小周期。设信号周期为,则根据周期性定义有关系:带入表达式得:其中k和m取正整数,最终算得最小周期(s)(3)如果
2、使用FFT对进行频谱分析,并能分辨出中的频率成份,请确定最小的值是多少?由公式可知FFT最小频率分辨力为,根据题目知,代入公式解得。(4)写出Matlab环境下,基于FFT算法对该信号进行频谱分析的程序,参数使用(3)中确定的参数,要求绘制出信号的时域图形和频谱图。程序:clearall;closeall;fs=500;N=50;t=(0:N-1)*(1./fs);n=0:N-1;xn=cos(2.*pi.*100.*t)+cos(2.*pi.*110.*t);subplot(2,1,1)stem(n,xn,'fill');xl
3、im([0,60]);xlabel('n');ylabel('X(n)');title('离散序列');gridon;M=50;n=0:M-1;f=500*n/M;Xk=fft(xn,M);subplot(2,1,2)stem(f,abs(Xk),'fill');xlim([0,250]);xlabel('f');ylabel('
4、X(f)
5、^2');title('离散序列频谱')gridon;图形:(5)在采样点数不变的情况下,通过补零可以增大的长度,补零增长后再基于FFT进行频谱分析,谱分析的分辨能力是否有所提高,为什么?信
6、号的补零,不会引入更多的信息,因此只能提高DFT分析的频谱密度,而无法提高DFT分析的频谱分辨力,提高频谱分辨力在采样频率一定的情况下,只能通过增加对信号的采样点数来实现。二、关于相关运算,分析下面的问题(1)写出序列与的相关运算的计算公式,分析其与卷积运算之间的关系。定义与的相关运算的计算公式如下:定义与的卷积计算公式如下:故推得两者关系如下:(2)写出序列的自相关序列的计算公式,并用的傅立叶变换表示的傅立叶变换。已知的傅立叶变换为,则由傅立叶变换性质知的傅立叶变换为,又有(1)知,则由时域卷积定理得:(3)若,求其自相关序列
7、,并判断其自相关序列的周期。将代入自相关函数计算公式,由积化和差知识化简得:是关于的函数,故周期为。三、关于希尔伯特变换,分析以下问题:(1)希尔伯特变换的定义;给定一连续时间信号f(n),其希尔伯特变换定义为:给定一离散时间信号x(n),其希尔伯特变换定义为:(2)希尔伯特变换都有哪些主要性质;1、希尔伯特变换保持能量守恒,即信号通过希尔伯特变换器后,信号频谱的幅度不发生变化。2、与互为奇偶函数。3、与相互正交。4、若,,的希尔伯特变换分别是,,,且,则:(3)何为解析信号,其频谱具有什么样的特征?给定一连续时间信号,其解析信
8、号定义为:定义的希尔伯特变换,与之对应的傅立叶变换分别为和。有希尔伯特变换定义知:则解析信号的频谱函数计算式如下:故解析信号的信号频谱仅含正频率成分,利用这一特征能降低信号的抽样率。四、若窄带信号的最高频率是5KHz,最低频率为4KHz,对其进行采样,试确定最小的采样频率?如果信号的最低频率是3.7KHz,最小的采样频率应取多少。1、窄带信号满足,其中为正整数,故最小采样频率可取2、信号最低频率改为3.7Hz后,不再满足条件。由窄带信号采样定理,采样频率满足条件时,采样后频域不会发生频率混叠,其中取大于2的正整数,由此算得,最小
9、值取。五、总结对正弦信号进行采样应该注意的问题。1、信号相位已知时,可以以进行采样。2、信号相位未知时,采用,取大于等于3的正整数,即倍频采样。因原信号表达式中含三个未知数,故至少需要三个方程,即单周期内至少要三个采样点,即可获得原信号全部信息。3、对正弦信号采样,截断时,应为整周期。4、对采样以后的信号不宜进行补零。六、关于FFT,分析以下问题:(1)FFT的含义是什么?英文全称FastFourierTransformation,中文解释快速傅立叶变换。(2)以为例,分别绘制基-2时间抽取FFT算法和分裂基FFT算法的蝶形流程
10、图。(3)设是长度为的有限长实序列,是的点DFT,试设计用一次点FFT完成计算的高效算法。1、定义新实序列,,其中,两者组成点复序列。2、对调用点FFT算法程序得到点复序列,此时若设和对应的DFT为和,则有关系:3、那么原序列的点DFT的前个点序列为:,其中的后