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1、13级研究生现代数字信号处理作业（I）完成人1：姓名（学号）完成人2：姓名（学号）完成人3：姓名（学号）完成人4：姓名（学号）完成人5：姓名（学号）XXXX年XX月XX日13级研究生现代数字信号处理作业题（I）一、已知模拟信号，现以采样频率对其进行均匀采样，得到离散时间信号。假设从时刻开始采样，共采样个点，分析以下问题：（1）写出的表达式。采样周期：的表达式为：整理得：（2）判断是否为周期序列，如果是周期序列，确定其最小周期。设信号周期为，则根据周期性定义有关系：带入表达式得：其中k和m取正整数，最终算得最小周期(s)（3）如果
2、使用FFT对进行频谱分析，并能分辨出中的频率成份，请确定最小的值是多少？由公式可知FFT最小频率分辨力为，根据题目知，代入公式解得。（4）写出Matlab环境下，基于FFT算法对该信号进行频谱分析的程序，参数使用（3）中确定的参数，要求绘制出信号的时域图形和频谱图。程序：clearall;closeall;fs=500;N=50;t=(0:N-1)*(1./fs);n=0:N-1;xn=cos(2.*pi.*100.*t)+cos(2.*pi.*110.*t);subplot(2,1,1)stem(n,xn,'fill');xl
3、im([0,60]);xlabel('n');ylabel('X(n)');title('离散序列');gridon;M=50;n=0:M-1;f=500*n/M;Xk=fft(xn,M);subplot(2,1,2)stem(f,abs(Xk),'fill');xlim([0,250]);xlabel('f');ylabel('
4、X(f)
5、^2');title('离散序列频谱')gridon;图形：（5）在采样点数不变的情况下，通过补零可以增大的长度，补零增长后再基于FFT进行频谱分析，谱分析的分辨能力是否有所提高，为什么？信
6、号的补零，不会引入更多的信息，因此只能提高DFT分析的频谱密度，而无法提高DFT分析的频谱分辨力，提高频谱分辨力在采样频率一定的情况下，只能通过增加对信号的采样点数来实现。二、关于相关运算，分析下面的问题（1）写出序列与的相关运算的计算公式，分析其与卷积运算之间的关系。定义与的相关运算的计算公式如下：定义与的卷积计算公式如下：故推得两者关系如下：（2）写出序列的自相关序列的计算公式，并用的傅立叶变换表示的傅立叶变换。已知的傅立叶变换为，则由傅立叶变换性质知的傅立叶变换为，又有（1）知，则由时域卷积定理得：（3）若，求其自相关序列
7、，并判断其自相关序列的周期。将代入自相关函数计算公式，由积化和差知识化简得：是关于的函数，故周期为。三、关于希尔伯特变换，分析以下问题：（1）希尔伯特变换的定义；给定一连续时间信号f(n)，其希尔伯特变换定义为：给定一离散时间信号x(n)，其希尔伯特变换定义为：（2）希尔伯特变换都有哪些主要性质；1、希尔伯特变换保持能量守恒，即信号通过希尔伯特变换器后，信号频谱的幅度不发生变化。2、与互为奇偶函数。3、与相互正交。4、若,,的希尔伯特变换分别是,,，且，则：（3）何为解析信号，其频谱具有什么样的特征？给定一连续时间信号，其解析信
8、号定义为：定义的希尔伯特变换，与之对应的傅立叶变换分别为和。有希尔伯特变换定义知：则解析信号的频谱函数计算式如下：故解析信号的信号频谱仅含正频率成分，利用这一特征能降低信号的抽样率。四、若窄带信号的最高频率是5KHz，最低频率为4KHz，对其进行采样，试确定最小的采样频率？如果信号的最低频率是3.7KHz，最小的采样频率应取多少。1、窄带信号满足，其中为正整数，故最小采样频率可取2、信号最低频率改为3.7Hz后，不再满足条件。由窄带信号采样定理，采样频率满足条件时，采样后频域不会发生频率混叠，其中取大于2的正整数，由此算得，最小
9、值取。五、总结对正弦信号进行采样应该注意的问题。1、信号相位已知时，可以以进行采样。2、信号相位未知时，采用，取大于等于3的正整数，即倍频采样。因原信号表达式中含三个未知数，故至少需要三个方程，即单周期内至少要三个采样点，即可获得原信号全部信息。3、对正弦信号采样，截断时，应为整周期。4、对采样以后的信号不宜进行补零。六、关于FFT，分析以下问题：（1）FFT的含义是什么？英文全称FastFourierTransformation，中文解释快速傅立叶变换。（2）以为例，分别绘制基-2时间抽取FFT算法和分裂基FFT算法的蝶形流程
10、图。（3）设是长度为的有限长实序列，是的点DFT，试设计用一次点FFT完成计算的高效算法。1、定义新实序列，，其中，两者组成点复序列。2、对调用点FFT算法程序得到点复序列，此时若设和对应的DFT为和，则有关系：3、那么原序列的点DFT的前个点序列为：，其中的后
