第十三章《轴对称》知识总结

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1、第十三章《轴对称》知识总结李高明10.5—10.2517第十三章《轴对称》知识总结基本知识提炼整理一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做轴对称。⑶轴对称图形与轴对称的区别：轴对称图形是一个具有特殊形状的图形。轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系。2.线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段

2、的垂直平分线；到线段两端等距离的点在这条线段的垂直平分线上；线段的垂直平分线是到线段两端等距离的点的集合。3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，第三边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对应线段的关系有三种：①平行且相等、

3、②与对称轴重合；③相交时（或其延长线）交点在对称轴上。2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.用坐标表示轴对称（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，。－y）；（2）关于y轴对称的点的坐标为P″（－x，y）；关于一、三象限角平分线对称的点（y，x）；关于二、四象限角平分线对称的点（－y，－x）；关于直线x=m对称的点的坐标是P1（－x+2m，y），关于直线y=n对称的点P2的坐标是（x，－y+2n）。也可以利用中点坐标的意义进行计算。横坐标相等的点，一定关于平行于x轴的直线对称，对称轴与y

4、轴的交点坐标是两点纵坐标和的一半；纵坐标相等的点，一定关于平行于y轴的直线对称，对称轴与x轴的交点坐标是两点横坐标和的一半；4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”17）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.（7）在同一个三

5、角形中，大边对大角，小边对小角；反之，大角对大边，小角对小边。（8）顶角为36°的等腰三角形叫黄金三角形，黄金三角形底角平分线把腰黄金分割（把原三角形分成两个等腰三角形）。特别注意的是：由∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，可得：AD=BD=BC；反之也可由在⊿ABC中，AB=AC且AD=BD=BC得到∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°.9、等腰三角形腰长x，底长y以及周长m之间的关系：2x+y=m，x＞0.5y，0.25m＜x＜0.5m，0＜y＜0.5m。5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每

6、一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.（4）30º直角三角形定理逆定理：直角三角形30度角的对边等于斜边的一半；如果直角三角形一直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角等于30º.用长方形的纸折怎样才能折出30度的角①把矩形ABCD对折，折痕EF；②把⊿ABH沿AH折叠使点B落在中线EF上的点G处，则∠DAG=30º。理由简要如下：①∵EF⊥平分AB，∴AG=BG，又∵AB=AG，∴△ABG是等边三角形，∴∠BAH=∠GAH=30°，∠DAG=30

7、°。②过G作GM⊥AD于M，则GM的长是AG的一半，∠MAG=30º，∠BAH=∠GAH=（90º—30º）÷2=30º.∴∠MAG=∠GAH=∠BAH=30º.在正方形ABCD所在的平面内求一点，使得它与AB、BC、CD、AD构成的三角形都是等腰三角形：作其中一条对称轴，以A为圆心正方形边长为半径作弧，交对称轴于P1、P2，又以D为圆心边长为半径再作弧交对称轴于P3、P4，在两条与边垂直的对称轴上一共可以作出九个符合条件的点。以此类推：在等边三角形所在平面内，也可以求一点P，使得ΔPAB，ΔPBC，ΔPAC都是等腰三角形。例.正三角形OA

8、B在平面直角坐标系中如图所示：根据图中数据求出可是ΔPAO、ΔPOB、ΔPAB都是等腰三角形点P的坐标。6．直角三角形斜边中线定理及逆定理定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一