张达宋《大学物理教程（第三版）》第十二章 振动

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1、第四篇振动与波动振动与波动都是自然界最常见的运动形式，每时每课都在影响着我们的生活．物体在一定位置附近来回往复地运动称为机械振动，由电容器和自感线圈串联而成的闭合电路被激发后，电容器极板上的电荷与自感线圈中的电流作周期性变化称为电磁振荡，只要一个物理量在一定的平衡值附近发生周期性的变化，都可认为该物理量在作振动．不同的振动现象中物理量的行为机制各不相同，但具有一些共同的物理特征．机械波是机械振动在介质中的传播过程，电磁波是变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程，还有声波、水面波、光波和地震波等各种不同性质的波．各种波的特性各不相

2、同，但是都具有类似的波函数，都有干涉和衍射等波的独特性质，波的这些共性称为波动性．本篇包括振动、波动以及光学三章．我们将通过机械振动和机械波的讨论，介绍振动和波的基本概念和基本特性，并分别延伸到电磁振荡和电磁波．光波是一种电磁波，光具有波粒二象性，即除了波动性外还具有粒子性．光学一章在简单介绍几何光学的基本原理后，主要讨论光的波动性，光的粒子性将在量子物理中讲授．第十二章振动物体在一定位置附近来回往复地运动称为机械振动，例如钟摆的运动、汽缸中活塞的运动、机器开动时各部分的微小颤动都是机械振动．振动现象是非常普遍的，并不限于机械振

3、动．振荡电路中电流的变化，电磁场的变化，虽然和机械振动有本质的不同，但它们的变化规律和数学描述与机械振动相类似，所以也称为振动．一般地说，凡是描述物质运动状态的某一物理量，在一定的平衡值附近发生周期性的变化都可称为振动．在自然界和科学技术中振动是普遍存在的，因此不论研究自然科学或工程科学都必须研究振动的规律．在所有振动中最简单而又最基本的振动是简谐振动(亦称简谐运动)．可以证明，任何复杂的振动，都可认为是由几个或多个简谐振动合成．本章主要讨论简谐振动，并简要介绍阻尼振动，受迫振动，以及非线性振动问题，最后说明在振荡电路中电磁振荡

4、是如何形成的．§12－1简谐振动一、简谐振动弹簧振子的运动是简谐振动的典型例子．下面以弹簧振子为例来说明简谐振动的规律．如图12－1，将弹簧一端固定，另一端连接一物体，物体能在光滑水平面上沿左右方向运动．弹簧的质量远小于物体的质量，可以忽略不计，这一系统即为上册§3－3中讲过的弹簧振子．因为假定水平面是光滑的，没有摩擦力作用，所以在水平方向上物体只受到弹簧的弹性力作用．图12－1设物体处在位置O时，所受的合外力为零，这个位置称为物体的平衡位置．现将物体略向右移到位置B然后释放，这时由于弹簧被拉长，便有一指向左边即指向平衡位置的弹

5、性力作用在物体上，迫使物体向左运动．当物体回到平衡位置时，虽然作用在物体上的弹性力变为零，但物体仍然在运动，由于惯性将继续向左方行进33．当物体到达平衡位置的左边时，弹簧被压缩，便有指向右边即指向平衡位置的弹性力作用在物体上，阻止物体继续向左运动，致使物体的运动速度减小，直到物体到达速度变为零的位置C．之后，物体又将在弹性力的作用下向右运动．这样物体就在弹性力的作用下，在平衡位置附近来回往复运动．以上我们定性地分析了弹簧振子的振动过程，下面研究它的运动规律．取平衡位置O为坐标的原点，Ox轴的正方向向右，如图12－1，设x为物体的

6、坐标，则x亦为物体相对于平衡位置的位移(振动质点的位移都是相对于平衡位置的位移)．根据胡克定律，在弹性限度内，物体受到的弹性力F与物体的位移x成正比，即F=-kx式中k是弹簧的劲度系数，与弹簧的材料、形状、大小有关．“-”号表示力的方向与位移的方向相反．设物体的质量为m，在弹性力F的作用下产生的加速度为a，则由牛顿第二定律得　　　　　　　　（12－1）对于给定的弹簧振子，k和m都是正的常量，可令　　　　　　　　　（12－2）代入(12－1)式得　　　　　　　（12－3）这一结果表明，弹簧振子的加速度与位移成正比，而方向相反．我们

7、把加速度与位移成正比而方向相反的振动称为简谐振动，作简谐振动的物体称为谐振子．因所以(12－3)式也可写成　　　　　　　（12－4）这是简谐振动的微分方程，从高等数学知道它的解是x=Acos(ωt+φ)　　　　　　　（12－5）式中的A、φ是两个积分常数，它们的物理意义将在下面讨论．又因cos(ωt+φ)=sin(ωt+φ+)，如果令φ’=φ+，则(12－5)式可改写成x=Asin(ωt+φ’)（12－5a）(12－5)或(12－5a)式称为简谐振动方程．因此我们也可以说，位移是时间的余弦函数或正弦函数的运动称为简谐振动．本章中

8、我们采用余弦函数的形式来表示简谐振动．二、简谐振动的振幅、周期及频率在简谐振动方程(12－5)式中，因cos(ωt+φ)的值在+1与-1之间，所以振动物体的位移在+A与-A之间，我们把物体离开平衡位置的最大位移的绝对值A，称为简谐振动的振幅．33又因cos(ωt