张达宋《大学物理教程（第三版）》第五章 刚体的转动

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1、第五章刚体的转动§5－1刚体的平动、转动和定轴转动一、刚体图5－1在外力作用下形状和大小都不变化的物体称为刚体．和这定义等价的另一定义是：如果物体在外力作用下它的任意两点之间的距离保持不变，则这物体称为刚体．刚体是一种理想模型，在自然界中是找不到的．实际上任何物体在外力作用下，它的形状和大小都或多或少要发生变化．但有许多物体，如果外力不甚大的话，它的形状和大小的改变不显著，这样的物体和刚体很接近，刚体力学中的结论对于这样的物体大致与经验符合．因此在实际问题中这样的物体可以当刚体来处理．二、平动和转动刚体的最简单的运动是平动和转动．在§1

2、－3中关于参考系的平动的定义对刚体也适用．即如果刚体运动时，它里面任一直线的方位始终保持不变，则其运动称为平动．平动的特点是，任一时刻刚体中各点的速度和加速度都相等，任一点的运动都可以代表整个刚体的运动．刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一条直线作圆周运动(如图5－1)，则这刚体的运动称为转动，这条直线称为转轴．座钟的指针、CD光碟、涡轮发电机的叶片和车辆的轮子的运动都是转动．转动刚体的转轴可以是固定的(例如涡轮叶片的转轴)，也可以是运动的(例如车轮的转轴)．转轴固定的转动称为定轴转动．图5－2可以证明，刚体的一般运动可以当作是由一平

3、动和一绕瞬时轴的转动组合而成．例如车轮在地面上滚动(图5－2a)，可以看成是由车轮随轮轴的平动以及车轮绕轮轴的转动组合而成．车轮上任一点P的瞬时速度v，等于轮轴的瞬时速度v0与由于该点随车轮绕轮轴转动所具有的速度vr的矢量和，如图5－2(b)所示．三、定轴转动如图5－1，P为刚体中一质点，当刚体绕定轴转动时，P作圆周运动，圆心O为转轴与圆平面的交点．由于刚体中任意两点之间的距离是固定不变的，刚体中各质点在同一时间Δt内具有相同的角位移Δθ，因此在任一时刻各质点具有相同的角速度ω和角加速度α．所以我们可以用Δθ、ω和α作为描写刚体绕定轴转

4、动的物理量，称为刚体的角位移、角速度和角加速度．我们在§1－4中讲过的角位移、角速度和角加速度等概念都适用于刚体的定轴转动．如果将角位移Δθ改为θ，则§1－4中公式θ=ωt，ω=ω0+αt及θ=ω0t+αt2对刚体的定轴转动亦适用．至于刚体内各质点的速度和加速度则由于各质点到转轴的距离不同而各不相同，但这些线量与角量之间的关系仍然由(1－49)式、(1－51)式及(1－52)式表示．例题5－1一转速为1.80×103r/min的飞轮，因受制动而均匀地减速，经20.0s停止转动．(1)求角加速度和从制动开始到停止转动飞轮转过的转数；(2)

5、求制动开始后t=10.0s时飞轮的角速度；(3)设飞轮半径为0.500m，求在t=10.0s时飞轮边缘上一点的线速度和切向与法向加速度．解(1)设ω0为初角速度，由题意得因飞轮均匀减速，其转动为匀变速转动，由§1－4公式，角加速度为从开始制动到停止转动飞轮的角位移θ及转过的转数N依次为(2)t=10.0s时飞轮的角速度为(3)t=10.0s时，飞轮边缘上一点的线速度为相应的切向加速度及法向加速度为§5－2力矩转动定律转动惯量一、力对转轴的力矩根据经验，力可以使物体转动．但使物体转动的作用，不仅与力的大小有关，而且与力的方向以及力的作用线

6、和转轴的距离有关．例如当我们用手关门时，力的作用线和门的转轴的距离越大，越容易把门关上．如果力的作用线通过门的转轴，或力的方向与转轴平行，则不论用多大的力也不能把门关上．首先讨论力在垂直于转轴的平面内的情形．图5－3为与转轴垂直的刚体的截面图，力F在此平面内，力的作用线与转轴的距离为d，d称为力臂，力的大小F与力臂d的乘积称为力F对转轴的力矩，用M表示，则M=Fd（5－1）设r为从转轴到力的作用点P的径矢，φ为r与F之间的夹角，由图5－3看出，d=rsinφ，故(5－1)式可写为　　　　　　　　（5—2）其中为力F在垂直于r方向的分量．

7、上式表示，只有力F在垂直于r方向的分量才对力矩有贡献．当φ=0或φ=180°时M=0，此时力的作用线通过转轴，，d=0．图5－3图5－4如果力F不在垂直于转轴的平面内，则将F分解为二分力Fl、F2．Fl在垂直于转轴的平面内，F2与转轴平行(图5－4)．由于平行分力F2对物体转动不起作用，可以不考虑，因此在力矩定义式(5－1)或式(5－2)中，F应理解为外力在垂直于转轴的平面内的分力．力对定轴的力矩不但有大小，而且有转向．一般规定，如果力矩使刚体沿反时针方向转动，力矩为正；如果力矩使刚体沿顺时针方向转动，力矩为负．如果同时有几个力作用于刚

8、体，则刚体所受的合力矩等于各个力对转轴的力矩的代数和．力对转轴的力矩与力对一点的力矩之间的关系如上所述，如果力F与转轴不垂直，可将它分解为垂直于转轴的分力Fl和平行于转轴的分力F2．设O为通过力F的作用点P