第 59 讲 函数的极限(第2课时-连续性)

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1、第59讲函数的极限-函数的连续性（第2课时）考点热点一定掌握！5．函数的连续性的描述性定义⑴在一点连续①设函数在点处及其附近有定义，且，那么就称函数在点处连续。这一定义包含三个意思：在点处有定义；在点处有极限；在点处的极限值等于该点的函数值。这三者缺一不可。②左连续和右连续如果函数在点处及其左侧有定义，且，那么就称函数在点处左连续。如果函数在点处及其右侧有定义，且，那么就称函数在点处右连续。③函数在点处连续的充要条件是在点处既左连续也右连续，即例．函数在点处不连续是指下面三种情况之一：①在点处没有定义。例如在处。②在点处虽然有定义，但没有极限。例如，，，二者不相等，故不存在。③

2、在点处极限不等于。例如，，但，∴。⑵在区间上连续如果函数在开区间（，）内的每一点都连续，则称函数在开区间（，）内连续。如果函数在开区间（，）内连续，且在点处右连续，在点处左连续，则称函数在闭区间[，]上连续。注意：上面粗体字“内”和“上”的使用是有区别的，只有在闭区间上才能使用后者。对于开区间或是半开半闭区间，只能使用前者。例．讨论下列函数在指出点或区间的连续性：⑴，点；⑵，区间[0，2]；⑶，点。分析：对于分段函数在分界点处的极限，一定要注意它的左右极限是否存在，是否相等；对于分式函数，分子分母约分后得到的新函数与原来的函数是否仍为同一函数。解：⑴当，，，∴，而，∴在处的极限

3、不存在，∴在处不连续。⑵∵中，如果，则分母为零，∴在处无定义，∴在区间[0，2]处不连续。⑶∵，，又∴，∴在处连续。点评：对于函数在给定点处的连续性，关键是判断函数当时的极限是否等于；对于函数在给定区间上的连续性，则要看它在给定区间上任一点是否都有意义，是否都连续，特别要注意端点处的情况。6．连续函数的性质⑴如果在闭区间[，]上连续，那么在闭区间[，]上有最大值和最小值。⑵如果函数、在某一点处连续，那么它们的和差积（包括乘以常数）商在此点也连续。⑶五种基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及由他们经过有限次四则运算得到的函数在它的定义域内都是连续函数

4、。例．求证：方程至少有一个正根，且它不大于。证明：设，则，，又在内是连续函数，所以存在一个，使的根也就是方程的根，∴方程至少有一个正根，且它不大于。例．已知函数，试求：⑴的定义域，并画出的图像；⑵求，，；⑶在哪些点不连续？解：⑴当，即时，，当，不存在，-11oyx当，即或时，，∴，∴的定义域为，其图像如右。⑵，，∵≠，∴不存在，⑶在点及处不连续，∵在点处无意义，而在点处，，，不存在。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！12345678函数的连续性的描述性定义在一点连续√在区间上连续√连续的充要条件√√连续函数的性质最大值和最小值、连续，则其和差积商连续五种基本初等函数及其和差积

5、商连续√1．函数，则在（）.点处不连续；.点处不连续；.点和处不连续；.处处连续。解：∵，，∴不存在，故应选。2．讨论函数在区间上的连续性。解：由于在点处无定义，∴在点处不连续，从而在区间上不连续，而仅在区间内连续。3．已知条件甲为“在处有定义且极限存在”，条件乙为“在处连续”，则甲是乙的（）.充分不必要条件；.必要不充分条件；.充要条件；.既不充分又不必要条件。解：∵在处连续的充要条件是“在处有定义，极限存在，极限等于该点的函数值”，故应选。4．已知函数，若在点处连续，则。解：∵，又根据函数连续的充要条件有∴由函数表达式可知，∴。5．讨论函数在区间上的连续性。解：∵是初等函数

6、，其定义域为，根据连续函数的性质可知，函数在区间上连续。