第3讲 函数的极限与连续性.ppt

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1、第3讲函数的极限与连续两个极限存在的准则两个重要极限函数的连续与间断初等函数的连续性间断点的分类一、关于极限存在的两个准则1、夹逼定理如果有三个数列xn，yn，zn满足xn

2、（美国）1996年9.84秒贝利（加拿大）1999年9.79秒格林（美国)2009年9.58秒博尔特(牙买加)利用这个定理可证明：单调上升有上界（或单调下降有下界）的数列必有极限e=2.718281同时还可推出今后常讨论：二、两个重要极限1、2、或例3求=1×3=3例4求例5求令即则原式==e3三、函数的连续和间断飘逸的浮云、飞泻的瀑布、川流不息的河水、绵绵的长城三、函数的连续和间断它有何含义？曲线在什么情况下产生间断？例6f1(x)在x=1处没有定义，这就导致间断。例7不存在，这导致间断例3两者

3、不等，这也导致间断2、连续的概念定义若函数在点a及其附近有定义，且则称函数在点a处连续例9对于f(x)=xn,n为自然数由于即故f(x)=xn在点a处连续。例10因=1故函数在x=0处连续=f(0)可以证明，基本初等函数在其定义域内每一点处是连续的例如：可以证明，基本初等函数在其定义域内每一点处是连续的例如：四、初等函数的连续性可以证明若两个函数在点x=a处连续，则它们的和、差、积、商（分母不为0）也在点x=a处连续。若u=g(x)在点x=a处连续，y=f(u)在u=g(a)处连续,则复合函数y=

4、f(g(a))在点x=a处连续.回忆基本初等函数初等函数因此，若一个初等函数在某一区间内有定义，则它在该区间内每一点处连续。例如，初等函数的定义域为[-1，0]，故此函数在[-1，0]的每一点处连续。（注：在端点x=-1：右连续。在端点x=0：左连续）五、间断点及其分类连续间断：函数在a无定义或不存在或a是函数的间断点设a是函数的间断点，若f(a－0)、f(a＋0)存在则称a是f(x)的第一类间断点例如设a是函数的间断点，若f(a－0)、f(a＋0)至少有一个不存在则称a是f(x)的第二类间断点例

5、如x=0是的第二类间断点,因为例如x=0是的第二类间断点,因为不存在注1：若f(x)在点a处连续，则“连续”意味着符号lim与f可以交换例解例解注2:若f(x)在点x0处连续，令则x→x0，即△x→0，这时成为因此,函数f(x)在点x0连续小结小结1、夹逼定理与单调有界定理2、两个重要极限4、初等函数的连续性3、连续5、间断的分类（两类）