课时 函数的极限和连续性

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1、课题：函数的极限和连续性教学目标：了解函数极限的概念；掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质（一）主要知识及主要方法：函数极限的定义:当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作：，或者当时，；当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是.记作或者当当时，如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作：或者当时，.常数

2、函数:()，有.存在，表示和都存在，且两者相等所以中的既有，又有的意义，而数列极限中的仅有的意义.趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作.特别地，；..其中表示当从左侧趋近于时的左极限，表示当从右侧趋近于时的右极限.对于函数极限有如下的运算法则：如果，,那么,,.当是常数，是正整数时:,这些法则对于的情况仍然适用.函数在一点连续的定义:如果函数在点处有定义，存在，且，那么函数在点处连续.函数在内连续的定义：如果函数在某一开区间内每一点

3、处连续，就说函数在开区间内连续，或是开区间内的连续函数.函数在上连续的定义：如果在开区间内连续，在左端点处有，在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数.最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≥，那么在点处有最大值.最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≤，那么在点处有最小值.最大值最小值定理如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值.极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(和型），通过变形使得各式有极限；根式型(型)，通过有理化变形使得各式

4、有极限；根的存在定理：若①函数在上连续，②，则方程至少有一根在区间内；若①函数在上连续且单调，②，则方程有且只有一根在区间内.（二）典例分析：问题1．求下列函数的极限：；；；；；();（广东）（陕西）问题2．若，求、的值.设，若，求常数、的值.（重庆）设正数满足，则（）问题3．讨论下列函数在给定点处的连续性.，点；，点；问题4．已知函数，当时，求的最大值和最小值；解方程；求出该函数的值域.（三）课堂作业：已知，求的值.若（、为常数），则；已知（），那么给一个定义，使在处连续，则应是（济南一模）设是一个一元三

5、次函数且，，则设函数在处连续，且，则（四）走向高考：（江西）若，则（）（湖北）若，则常数的值为（）（四川）（）（江西）（）等于等于等于不存在（天津）设等差数列的公差是，前项的和为，则3（全国Ⅱ）已知数列的通项，其前项和为，则－（湖南）下列四个命题中，不正确的是（）若函数在处连续，则函数的不连续点是和若函数，满足，则yxO（安徽）如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，…，，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，…，，从而得到个直角三角形．当时，这些三角形的面积之和的极限为（

6、湖南）.（江西）（A）A．B．C．D．不存在（重庆）已知函数f(x)=，点在x=0处连续，则.（江西）已知函数在区间内连续，且．求实数和的值；解不等式．解：（1）因为，所以，由，即，．又因为在处连续，所以，即．（2）由（1）得：由得，当时，解得．当时，解得，所以的解集为．（广东）设函数，其中常数为整数.当为何值时，≥；定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得.试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根.解：