函数的极限和函数的连续性

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1、.WORD.格式.函数的极限及函数的连续性一、重点难点分析:  ①     此定理非常重要,利用它证明函数是否存在极限。  ②要掌握常见的几种函数式变形求极限。  ③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。  ④计算函数极限的方法,若在x=x0处连续,则。  ⑤若函数在[a,b]上连续,则它在[a,b]上有最大值,最小值。  二、典型例题  例1.求极限  ① ② ③  ④  解析:①。    ②。  ③。    ④。  例2.已知,求m,n。  解:x2+mx+2含有x+2这个因式 ∴x=-2是方程x2+m

2、x+2=0的根,∴m=3代入求得n=-1。  例3.讨论的连续性。  解析:函数的定义域为(-∞,+∞),由初等函数的连续性知,在非分界点处函数是连续的,  又,∴,∴f(x)在x=1处连续。.专业资料.整理分享..WORD.格式.  由,  从而f(x)在点x=-1处不连续。∴f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续,x=-1为函数的不连续点。  例4.已知函数,(a,b为常数)。  试讨论a,b为何值时,f(x)在x=0处连续。  解析:∵且, ∴,∴a=1,b=0。  例5.求极限①  ②  解析:①。  ②。  例6

3、.设,问常数k为何值时,有存在?  解析:∵,。  要使存在,只需,∴2k=1,故时,存在。  例7.求函数在x=-1处左右极限,并说明在x=-1处是否有极限?  解析:由,,  ∵,∴f(x)在x=-1处极限不存在。  训练题:  1.,则2.的值是_______。.专业资料.整理分享..WORD.格式.  3.,则=______。4,2a+b=0,求a与b的值。  5.已知,求a的值。  参考答案:1.3  2.  3.  4.a=2,b=-4  5.a=0在线测试窗体顶端  选择题窗体底端窗体顶端  2.和存在是函数存在的(

4、)。  A、充分非必要条件  B、必要非充分条件  C、充要条件     D、既不充分又不必要条件窗体底端窗体顶端  3.,则下列结论中不正确的是()。  A、  B、  C、f(x0)=a  D、f(x0)可能不为a窗体底端窗体顶端  4.设,若存在,则常数b的值是()。  A、0  B、1  C、-1  D、e窗体底端窗体顶端  5.对于函数,给定下列命题  ① ② ③ ④  其中正确的是()。  A、①和②  B、③和④  C、①②③④都成立  D、③窗体底端窗体顶端  6.有下面四个命题:  (1)如果函数f(x)在点x0

5、处极限存在,那么f(x)在点x0处连续;  (2)如果函数f(x)在点x0处左连续又有右极限,那么f(x)在点x0处连续;  (3)如果函数f(x)在点x0处不连续,g(x)在点x0处连续,则f(x)g(x)在点x0处不连续;  (4)函数在[-1,1]上存在最大值和最小值。.专业资料.整理分享..WORD.格式.  其中错误的命题有()。  A、1个  B、2个  C、3个  D、4个窗体底端窗体顶端  7.“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在”是“f(x)在点x0处连续”的()。  A、充分不必要条件B必要不充分条件 C、

6、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件窗体底端窗体顶端  8.已知函数则下列结论正确的是()。  A、f(x)在点x=1处不连续,在点x=2处连续  B、f(x)在点x=1处连续,在点x=2处不连续  C、f(x)在点x=1和x=2处都不连续  D、f(x)在点x=1和x=2处都连续窗体底端窗体顶端  9.设函数在区间[0,+∞]上连续,则实数a的值是()。  A、1  B、2  C、3  D、0窗体底端窗体顶端10.对函数,下列说法正确的是()。  A、f(x)在x=1处连续,在开区间(0,1)内不连续  B、f(x)在x=1处

7、不连续,在开区间(0,1)内连续  C、f(x)在x=1处及开区间(0,1)内均连续  D、f(x)在x=1处及开区间(0,1)内都不连续窗体底端答案与解析  答案:2.B 3.C 4.B 5.A 6.D 7.B 8.D 9.B 10.B  解析:2.若≠,则函数不存在。  3根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义:  ,所以A、B正确;  ,需看函数在点x=x0处是否有定义,因此选C。  4.提示:若存在,则.专业资料.整理分享..WORD.格式.,  ,,所以b=1。  5.提示:容易求得①  ②正确,  也可知≠,所以

8、不存在,③④不成立。  7.提示:f(x)在点x0处连续必须满足三个条件:  (1)函数f(x)在点x0处有定义;(2)存在;  (3),即函数在点x0处的极限值等于这一点的函数值。  因此“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在”是“f(x)在点

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1、.WORD.格式.函数的极限及函数的连续性一、重点难点分析:  ①     此定理非常重要,利用它证明函数是否存在极限。  ②要掌握常见的几种函数式变形求极限。  ③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。  ④计算函数极限的方法,若在x=x0处连续,则。  ⑤若函数在[a,b]上连续,则它在[a,b]上有最大值,最小值。  二、典型例题  例1.求极限  ① ② ③  ④  解析:①。    ②。  ③。    ④。  例2.已知,求m,n。  解:x2+mx+2含有x+2这个因式 ∴x=-2是方程x2+m

2、x+2=0的根,∴m=3代入求得n=-1。  例3.讨论的连续性。  解析:函数的定义域为(-∞,+∞),由初等函数的连续性知,在非分界点处函数是连续的,  又,∴,∴f(x)在x=1处连续。.专业资料.整理分享..WORD.格式.  由,  从而f(x)在点x=-1处不连续。∴f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续,x=-1为函数的不连续点。  例4.已知函数,(a,b为常数)。  试讨论a,b为何值时,f(x)在x=0处连续。  解析:∵且, ∴,∴a=1,b=0。  例5.求极限①  ②  解析:①。  ②。  例6

3、.设,问常数k为何值时,有存在?  解析:∵,。  要使存在,只需,∴2k=1,故时,存在。  例7.求函数在x=-1处左右极限,并说明在x=-1处是否有极限?  解析:由,,  ∵,∴f(x)在x=-1处极限不存在。  训练题:  1.,则2.的值是_______。.专业资料.整理分享..WORD.格式.  3.,则=______。4,2a+b=0,求a与b的值。  5.已知,求a的值。  参考答案:1.3  2.  3.  4.a=2,b=-4  5.a=0在线测试窗体顶端  选择题窗体底端窗体顶端  2.和存在是函数存在的(

4、)。  A、充分非必要条件  B、必要非充分条件  C、充要条件     D、既不充分又不必要条件窗体底端窗体顶端  3.,则下列结论中不正确的是()。  A、  B、  C、f(x0)=a  D、f(x0)可能不为a窗体底端窗体顶端  4.设,若存在,则常数b的值是()。  A、0  B、1  C、-1  D、e窗体底端窗体顶端  5.对于函数,给定下列命题  ① ② ③ ④  其中正确的是()。  A、①和②  B、③和④  C、①②③④都成立  D、③窗体底端窗体顶端  6.有下面四个命题:  (1)如果函数f(x)在点x0

5、处极限存在,那么f(x)在点x0处连续;  (2)如果函数f(x)在点x0处左连续又有右极限,那么f(x)在点x0处连续;  (3)如果函数f(x)在点x0处不连续,g(x)在点x0处连续,则f(x)g(x)在点x0处不连续;  (4)函数在[-1,1]上存在最大值和最小值。.专业资料.整理分享..WORD.格式.  其中错误的命题有()。  A、1个  B、2个  C、3个  D、4个窗体底端窗体顶端  7.“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在”是“f(x)在点x0处连续”的()。  A、充分不必要条件B必要不充分条件 C、

6、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件窗体底端窗体顶端  8.已知函数则下列结论正确的是()。  A、f(x)在点x=1处不连续,在点x=2处连续  B、f(x)在点x=1处连续,在点x=2处不连续  C、f(x)在点x=1和x=2处都不连续  D、f(x)在点x=1和x=2处都连续窗体底端窗体顶端  9.设函数在区间[0,+∞]上连续,则实数a的值是()。  A、1  B、2  C、3  D、0窗体底端窗体顶端10.对函数,下列说法正确的是()。  A、f(x)在x=1处连续,在开区间(0,1)内不连续  B、f(x)在x=1处

7、不连续,在开区间(0,1)内连续  C、f(x)在x=1处及开区间(0,1)内均连续  D、f(x)在x=1处及开区间(0,1)内都不连续窗体底端答案与解析  答案:2.B 3.C 4.B 5.A 6.D 7.B 8.D 9.B 10.B  解析:2.若≠,则函数不存在。  3根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义:  ,所以A、B正确;  ,需看函数在点x=x0处是否有定义,因此选C。  4.提示:若存在,则.专业资料.整理分享..WORD.格式.,  ,,所以b=1。  5.提示:容易求得①  ②正确,  也可知≠,所以

8、不存在,③④不成立。  7.提示:f(x)在点x0处连续必须满足三个条件:  (1)函数f(x)在点x0处有定义;(2)存在;  (3),即函数在点x0处的极限值等于这一点的函数值。  因此“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在”是“f(x)在点

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