函数极限和连续性

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1、第一章函数、极限和连续性内容提要：1.函数实质上是自变量与因变量之间按照一定法则的对应关系。函数的概念及各种性质在考研数学中一般不作为直接的考点。但函数是微积分的基本研究对象，绝大多数知识点都直接或间接地与函数相关，相当大的一部分题目中也要直接或间接地用到函数的各种性质。因此，在开始微积分的学习之前，重温一遍函数的主要内容是必要的。函数部分需要重点掌握的内容有：复合函数，分段函数的运算，反函数的概念及计算，函数的奇偶性和有界性。2.极限是这一章的主要内容，也是整个学科的理论基础。学习本章的核心任务是熟练掌握各种极限的计

2、算方法，极限计算的方法牵涉到方方面面的理论，在后续很多章节都有涉及，总结起来主要有：利用四则运算，利用两个重要极限，利用等价无穷小替换，利用洛必达法则，利用变量替换，分别求左右极限，数列极限转化为函数极限，利用夹逼原理，利用单调有界原理，利用泰勒公式，利用定积分的定义等。对于极限的计算需要大量的练习，以求熟能生巧，对各种方法融会贯通。无穷大量和无穷小量的概念是这一部分的另一重要内容。它们既是对极限计算的应用，又可以反过来帮助我们求极限。学习时，要理解无穷大量和无穷小量的概念及它们的关系，重点掌握无穷小量的比较方法，理解

3、无穷小量的高阶、同阶、等价的概念并能用等价无穷小替换计算极限。3.函数的连续性是函数的基本性质之一，微积分中研究的函数都是连续函数或仅在有限个点间断的函数。对函数连续性的考查也是考研数学的重要内容，考题主要集中在连续性的讨论及间断点的分类上。对函数连续性的考查本质上还是考查极限的计算。另外，闭区间上连续函数的性质也是需要考生有所了解的内容。第一节函数Ⅰ考点精讲一．基本概念1.函数：从实数集的子集到的一个映射称之为函数，记作，称为自变量，为因变量。函数的三要素：定义域、解析式和值域（也作二要素：定义域、解析式，因为这两者

4、可以决定值域）。其中，定义域是自变量的取值范围；值域是因变量的取值范围记作。函数由其解析式和定义域唯一确定，与符号的选取无关，如与是同一个函数。在没有特别指定的情况下，函数的定义域取自然定义域，即使得函数运算有意义的自变量的取值范围。易知，人为指定的定义域必为自然定义域的子集。常见的函数的定义域如下：2.复合函数：设与为两个函数，如果的值域包含于的定义域，则可以定义与的复合函数。类似地，还可以定义三个或更多函数的的复合函数。复合函数的性质：ⅰ）复合函数的运算满足结合律，即（注意，复合函数不满足交换律。例如令，则）；ⅱ）

5、如果单调性相同，则单调递增；如果单调性相反，则单调递减。3.反函数：函数是一个映射，如果该映射的逆映射存在，则称该逆映射是函数的逆映射，记作。反函数的性质：ⅰ）函数存在反函数当且仅当对定义域内任意两点，有；ⅱ）反函数与原函数的图像关于直线对称；ⅲ）反函数与原函数的增减性相同。常见反函数：4.初等函数：由基本初等函数经过有限次复合或四则运算得到的函数称之为初等函数。基本初等函数包括如下五类函数：幂函数，指数函数：；对数函数：；三角函数：等；反三角函数：等。5.分段函数：函数在的不同取值范围内有不同的解析式就称之为分段函数

6、。常见的分段函数：，，二．基本性质1.函数的单调性：如果对函数在某区间内的任意两点都有（或），就称函数在上单调递增（或单调递减），相应地称是的一个单调增区间（或单调减区间）。如果对区间内的任意两点都有（或），我们就称函数在上单调不减（或单调不增）。函数单调性的性质：ⅰ）如果都是增函数（或减函数），则也是增函数（或减函数）。ⅱ）如果是增函数，是减函数，则是增函数，是减函数。ⅲ）如果是增函数（或减函数），如果常数，则是增函数；如果常数，则是减函数。常见函数的单调增区间及单调减区间：2.函数的周期性：如果存在正数，使得对函数

7、在其定义域内的任意一点都有，就称是一个周期函数，而是的一个周期。易知如果是的一个周期，那么对任意的正整数，都是的周期。在的所有周期中，我们把其中最小的称为最小正周期。很多时候，我们往往也把最小正周期简称为周期。周期函数的性质：ⅰ）如果以为周期，则对任意的非零常数，仍然以为周期，以为周期。ⅱ）如果都以为周期，则仍然以为周期（）。注意这时最小正周期有可能缩小，如都以为最小正周期，但以为最小正周期。常见周期函数的周期：3.函数的奇偶性：如果对其定义域内的任意一点，（或），就称是一个偶函数（或奇函数）。奇偶函数的性质：ⅰ）偶函

8、数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称；ⅱ）如果都是奇函数（或偶函数），则对任意的常数，仍然是奇函数（或偶函数）；ⅲ）如果奇偶性相同，则为偶函数；如果奇偶性相反，则为奇函数；ⅳ）对于任意定义在对称区间上的函数，、与都是偶函数；是奇函数。常见的奇函数：常见的偶函数：4.函数的有界性：设是一个函数，如果存在一个实数，使得对定义域