初中数学拔尖材料13 抽屉原理初步

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1、初中数学拔尖材料13抽屉原理初步抽屉原理也叫鸽笼原理，是由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，就能很快使问题得到解决．一、抽屉原理的概念A、感受原理桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果．B、简要定义一般情况下，把或多于个苹果放到个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有

2、两个苹果；这种现象称为抽屉原理．C、深刻领悟原理一把件物体，任意放在个抽屉里，则其中必有一个抽屉里至少有两件物体．原理二把个物体放进个抽屉，则至少有一个抽屉里至少要放进个物体．例1．数学课外活动小组38名学生，他们中年龄最大的15岁，最小的13岁，试证：总可以找到两名学生是同年同月出生的．例2．某校图书馆中有A、B、C、D四类书，借书的同学至多借两本书，问至少有多少个同学任意借书后，才能断定有两个人所借的书本数及类型完全相同？例3．在一个正方形内，任意给定5点，那么其中必有两点，它们之间的距离不大于正方形对角线长的一半．二、构造抽屉的几种常用方法1．分割图形构造抽屉此方法常用来处理的问

3、题：设把若干个点任意放入某个几何图形内，则必出现某种结果．例4．在边长为1的正三角形中任意放置5个点，则必有两个点，它们之间的距离不超过．例5．在一个边长为1的正方形内任意给定9个点，求证：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于．例6．如图，把的矩形分成27个单位小方格，将每个小方格任意涂上红色或蓝色，求证：无论怎样的涂法，其中至少有两列，它们涂色方式完全相同．巩固练习在半径为1的圆周上任意取7个点，求证：至少存在两个点，它们的距离小于1．2．利用剩余类法构造抽屉全体正整数对于模来说，可按余数相同而被分成类，这个类就叫模的剩余类．例7．任意给出5个整数，求证：从

4、中必能选出3个，使它们的和能被3整除．例8．从自然数1，2，3，…，100中任取51个数，试证其中至少有两个数，它们中的一个是另一个的整倍数．例9．任意给出7个正整数，必有两个数，它们之和或差是10的倍数．例10．求证：存在一个2014的整倍数，它包含0，1，2，…，9这十个数字．例11．对正整数，从1，2，3，…，中任意取出50个不同的数，其中必有两数之差为7；满足上述条件的的最大可能是多少？3．利用染色构造抽屉染色通常有两种：涂点法和涂线段法；但不要局限于此，要灵活多变，构造精巧．例12．在任意6个人的集会上，求证：总有3个人互相认识或者总有3个人互不认识．例13．有17位科学家，

5、他们之间都互相通信，讨论三个问题，而任意两个科学家只讨论一个问题；求证：至少有三个科学家相互之间讨论的是同一个问题．例14．1010人参加考试，用百分制（整数）记分，总分为50501分，试证：至少有11人同分．例15．某记者在4周内恰好完成市民对市区环境满意度的查访工作．现知他每天最少查访1人，每周最多查访12人；求证：一定有连续若干天，他刚好查访7人．例16．有9名运动员，编号为1，2，3，…，9；将他们任意分为两组；求证：一定在某组内可以找出编号为三人，使，或找出编号为四人，使．总结：由上述例题可知运用抽屉原理解题的特点是：证明某种计数具有某种特性．运用抽屉原理解题的关键在于制造抽

6、屉，从待证的结论中找出构造抽屉的规则，造出适合规则的所有抽屉；常见的造抽屉的方法有：分割图形造抽屉、对整数按同余类造抽屉、利用染色造抽屉．抽屉的形式多种多样，要依据问题的特点确定构造的方法，经验与智慧相结合．巩固练习1．在边长为1的等边三角形内，任意放入24个点，则其中一定存在______个点，它们之间距离不大于．2．衣柜里有4种不同花色的手套，每种都刚好有3双，随意从衣柜里取手套，则至少要取______只才能保证取到2只配对的花色手套．3．任意给定18个互不相等的正整数，求证：其中一定有6个数，使得：为1989的倍数．4．有九名数学家，每人至少会讲三种语言，每三人中至少有两人能用同一

7、种语言讲话；求证：其中必有三人能用同一种语言通话．5．围着一张可以转动的圆桌，均匀地放8把椅子，在桌上对着椅子放有8人的名片，8人入座后，发现谁都没有对着自己的名片；求证：适当地转动桌子，最少能使两人对上自己的名片．