北京数学竞赛培训第13讲抽屉原理.doc

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1、第13讲抽屉原理　　把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。一般地，我们将它表述为：第一抽屉原理：把（mn＋1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m＋1）个物体。　　使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉。一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。　　例1从1，2，3，…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定：　　（1）有2个数互质；　　（2）有2个数的差为50；　　（3）有8个数，它们的最大公约数大于1。　　证明：（1）将100个数分成5

2、0组：　　{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。　　在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组中的2个数是两个相邻的整数，它们一定是互质的。　　（2）将100个数分成50组：　　{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。　　在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。　　（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：　　第一组：2的倍数，即{2，4，…，100}；　　第二组：3的倍数，即{3，6，…，99}；　　第三组：5的倍数，即{5，10，…，100}；　　第四组：7的倍数，即{7，14，…，98}；　　第五

3、组：1和大于7的质数即{1，11，13，…，97}。　　第五组中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1。　　例2求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。　　证明：因1996÷4＝499，故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数就可以了。　　　　得到500个余数r1，r2，…，r500。由于余数只能取0，1，2，…，499这499个值，所以根据抽屉原理，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，这个差的前若干位是1

4、，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互质的，故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。　　例3在一个礼堂中有99名学生，如果他们中的每个人都与其中的66人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相识是互相的）。　　分析：注意到题中的说法“可能出现……”，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。　　解：将礼堂中的99人记为a1，a2，…，a99，将99人分为3组：　　（a1，a2，…，

5、a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），将3组学生作为3个抽屉，分别记为A，B，C，并约定A中的学生所认识的66人只在B，C中，同时，B，C中的学生所认识的66人也只在A，C和A，B中。如果出现这种局面，那么题目中所说情况就可能出现。　　因为礼堂中任意4人可看做4个苹果，放入A，B，C三个抽屉中，必有2人在同一抽屉，即必有2人来自同一组，那么他们认识的人只在另2组中，因此他们两人不相识。　　　　例4如右图，分别标有数字1，2，…，8的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标数字都不相同。当两个圆环按不同方向转动时，必有某一

6、时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。　　分析：此题中没有直接提供我们用以构造抽屉和苹果的数量关系，需要转换一下看问题的角度。　　解：内外两环对转可看成一环静止，只有一个环转动。一个环转动一周后，每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现8次。将这8次局面看做苹果，再需构造出少于8个抽屉。　　注意到一环每转动45°角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面，而最初的8对滚珠所标数字都不相同，所以数字相同的滚珠相对的情况只出现在以后的7次转动中，将7次转动看做7个抽屉，8次相同数字滚珠相对的局面看做8个苹果，则

7、至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中，即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。　　例5有一个生产天平上用的铁盘的车间，由于工艺上的原因，只能控制盘的重量在指定的20克到20.1克之间。现在需要重量相差不超过0.005克的两只铁盘来装配一架天平，问：最少要生产多少个盘子，才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子？　　解：把20～20.1克之间的盘子依重量分成20组：　　第1组：从20.000克到20.005克；　　第2组：从20.005克到20.010克；　　……　　第20组：从20.095克到20.100克。　　这样，只要有21个盘子，就一