题型6 参数方程求解曲线弦长

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1、题型6求直线与曲线相交弦的长【例17．6．1】求直线(t为参数)被圆(α为参数)截得的弦长．【分析】把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长．【详解】把直线方程化为普通方程为．将圆化为普通方程为．圆心O到直线的距离，弦长．所以直线被圆截得的弦长为．【评注】消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参．【变式1】过点P(－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线相交于A、B两点．求线段AB的长．【分析】由已知过点P(－3，0)且倾斜角为30°的直线可以写出直线的标准参数方程，并根据参数的几何意义求解弦长．【详解】直线的参数方程为，曲线可以化为．将

2、直线的参数方程代入上式，得．设A、B对应的参数分别为，∴．AB＝．【评注】掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程及简单的应用，并熟练把它们的参数方程转化为普通方程，由于直线的参数方程为标准参数方程，即为直线上的点到点的距离．就可以直接通过求两点的参数之差求得弦长．在解题时要注意应用参数的几何意义，还要注意是否为标准方程．【变式2】直线()被曲线所截的弦长为___________．【分析】消掉t可以得到直线的普通方程，而曲线则需要用两角和的余弦公式展开转化．【详解】消去t得直线的方程为，7由，两边同乘，得，即，即，所以曲线为圆，圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以弦长为【答案】【评注

3、】在由极坐标方程化为普通方程时要注意变形技巧．要运用两角和的余弦公式进行变形．直线截得的弦长可由勾股定理求得．【变式3】已知抛物线y2=2px，过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，求证：．【分析】弦长AB=

4、t1−t2

5、．【详解】由条件可设AB的方程为(t是参数)，代入抛物线方程，得t2sin2θ−2ptcosθ−p2=0，由韦达定理：，∴AB=

6、t1−t2

7、===．圆锥曲线重要几何量问题的求解纵观近几年全国高中数学联赛和部分省市高中数学竞赛试题，圆锥曲线是命题的热点之一，而且比较接近高考．在圆锥曲线中，焦半径、焦（顶）点弦长、焦（顶）点三角形面积等是非常重要的几何

8、量，也是各类竞赛的重点．为此，本讲主要介绍与这些几何量有关问题的求解策略．一、基础知识1．圆锥曲线定义、方程、基本元素a、b、c、e、P之间的关系，焦半径以及一些重要公式．2．焦点弦长：AB是经过圆锥曲线（指的是椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）、双曲线b２x２－a２y２＝a２b２（a＞0，b＞0）、抛物线y２＝2Px（P＞0），以下相同）焦点的弦，若AB的倾斜角为α，半焦距为c，则（1）对于椭圆，｜AB｜＝2AB２／（b２＋c２sin２α）；（2）对于双曲线，｜AB｜＝2AB２／｜b２－c２sin２α｜；（3）对于抛物线，｜AB｜＝2P／sin

9、２α．证明过程，此处从略．3．顶点弦长：经过圆锥曲线顶点A（对于椭圆或双曲线，指的是长轴或实轴顶点）作倾斜角为α的弦AB，半焦距为c，则（1）对于椭圆，｜AB｜＝2AB２｜cosα｜／（b２＋c２sin7２α）；（2）对于双曲线，｜AB｜＝2AB２｜cosα｜／｜b２－c２sin２α｜；（3）对于抛物线，｜AB｜＝2P｜cosα｜／sin２α．证明过程，此处从略．4．焦点三角形的面积：P是椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）或双曲线b２x２－a２y２＝a２b２（a＞0，b＞0）上一点，F１、F２是两焦点，若∠F１PF２＝α，则（1）对于椭圆

10、，S△F１PF２＝b２tan（α／2）；（2）对于双曲线，S△F１PF２＝b２cot（α／2）．一般的书刊资料均可找到，证明从略．例1在椭圆b２x２＋a２y＝a２b２（a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若该椭圆的离心率e＝（1／2）（－1），求∠ABF．（2000年全国高中数学联赛题）．导析：如图1，△ABF是椭圆的一焦点和两顶点组成的，是一个非常特殊的三角形．但在短暂的思考中学生也是不易找到方法．这时教师可提醒学生观察图中的三角形，它们的边均与a，b，c有关，由此可改造条件．即由e＝ca＝（1／2）（－1）可得2c＋a＝a，两边平方可得b２＝ac

11、，由此结论便迎刃而解了，且方法是多样的．即用相似三角形或两斜率的积或用两角和的正、余弦均可得∠ABF＝90°．例2已知点P在双曲线（x２／16）－（y２／9）＝1，且点P到这条双曲线的右准线的距离恰是点P到这条双曲线的两个焦点的距离的比例中项，那么点P的横坐标是．（1999年全国联赛题）．导析：学生见到此题，常常会用如下方法：设左、右焦点为F１、F２，点P（x，y）到右准线x＝a２／c＝16／5的距离为D，则2D＝｜PF１｜＋｜PF２｜，由此即得方程组