导数全国各地年高考真题

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1、导数的应用1.(2013大纲，21,12分)(本小题满分12分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.[答案]1.查看解析[解析]1.21.解析　(Ⅰ)f'(x)=3ax2+6x+3,f'(x)=0的判别式Δ=36(1-a).(2分)(i)若a≥1,则f'(x)≥0,且f'(x)=0当且仅当a=1,x=-1.故此时f(x)在R上是增函数.(ii)由于a≠0,故当a<1时,f'(x)=0有两个根:x1=,x2=.若00,故

2、f(x)在(-∞,x2),(x1,+∞)上是增函数;当x∈(x2,x1)时,f'(x)<0,故f(x)在(x2,x1)上是减函数;若a<0,则当x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上是减函数;当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,故f(x)在(x1,x2)上是增函数.(6分)(Ⅱ)当a>0,x>0时,f'(x)=3ax2+6x+3>0,故当a>0时,f(x)在区间(1,2)上是增函数.(9分)当a<0时,f(x)在区间(1,2)上是增函数当且仅当f'(1)≥0且f'(2)≥0,解得-≤a<0.综上,a的取值范围是∪(0

3、,+∞).(12分)2.(2014重庆，19，12分)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)已知函数f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值.[答案]2.查看解析[解析]2.19.解析　(Ⅰ)对f(x)求导得f'(x)=--,由f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x知f'(1)=--a=-2,解得a=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=+-lnx-,则f'(x)=,令f'(x)=0,解得x=-1或x=5.因x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,

4、故舍去.当x∈(0,5)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数;当x∈(5,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数.由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln5.3.(2014四川，21，14分)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.(Ⅰ)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(Ⅱ)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2

5、ex-ax2-bx-1,有g(x)=f'(x)=ex-2ax-b,所以g'(x)=ex-2a.当x∈[0,1]时,g'(x)∈[1-2a,e-2a],当a≤时,g'(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增,因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当a≥时,g'(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减.因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b;当

6、n(2a))=2a-2aln(2a)-b.综上所述,当a≤时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当

7、个零点.由(Ⅰ)知,当a≤时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.当a≥时,g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,所以0,g(1)=e-2a-b>0.由f(1)=0有a+b=e-1<2,有g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0,