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1、(2018年全国卷1理科)21•已知函数f(x)=--x+a］nxoX(1)讨论函数/(兀)的单调性；(2)若/(兀)存在两个极值点兀
2、,左，证明.mJ——2。兀］-x2(2017年全国卷1理科)21•已知函数/(x)=ae2x4-(a・2)扌・x.(1)讨论/(兀)的单调性；(2)若/(x)有两个零点，求a的取值范围.(2016年全国卷1理科)21•已知函数/(x)=(x-2)K+a(兀-1尸有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设Xi，X2是的两个零点，证明:兀+X2<2.(2015年全国卷1
3、理科)21.已知函数f(x)=x3+ax+丄,g(x)=—lnx4(I)当a为何值I］寸，x轴为曲线y=f(x)的切线；(II)用min{"n}表示m,n中的最小值，设函数A(x)=min{f(x^(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数bex~x(2014年全国卷1理科)21•设函数/(x0=aexInx+——，曲线y=f(x)在点(1,f(V))x答案：(2018年全国卷1理科)21.解：(1)当a<2时，.f(x)在(0,+oo)单调递减。当。〉2时，f(x)在(0,Q_J"_4)和(,+q
4、o)上单调递减，在22十)上单调递增。(I)/(》¥#丄一x+_-re(O.^x)xx当必2时.J(x)<0.所以/(刃在(0.心)为减函数:当“>2时•令r(x)=o,廿gj叮甘口X(0・兀)X,d)■/⑴■()孟*訓/⑴—极大值综上诫.魯*2时，/(x)6(O.^x)单调递减:帕>2时•/⑴在(O.ZHH)和(MEI.住)氓调递冷任(上二Q二L.叱鱼二土)为单调递增.(2)证明:因为ill(1)fabxtx:=1所以/(勺)~/(可卡严-1吧X、斗一冷ill=在(1.0)处的切线斜率为Lxe(0.
5、1)时，y>1:xe(L+X?时rqv<1:又因諦箭所畑鑿S所以2吐些“一2Xj_兀(2017年全国卷1理科)21.解：(1)/(兀)的定义域为(-oo,-HX)),fx)=2a^x+{a-2)ex-1=(aex-l)(2ex4-1),(i)若^<0,则广W<0,所以/(兀)在(-00,+00)单调递减.(ii)若a〉0,则由fx)=0得兀=-Ina.当xe(-oc5-lna)时，(x)<0；当尢丘(-ln“+S时，广(x)>0,所以/(兀)在(—8,-lriQ)单调递减，在(-Ina,+oo)单
6、调递增.(2)(i)^(7<0,由(1)知，于(切至多有一个零点.(ii)若d〉0,由(1)知，当x=-a时，/(x)取得最小值，最小值为/(-Inez)=1-—+lntz.a①当a=l时,由于/(-lna)=0,故/(x)只有一个零点；②当tzG(l,4-oo)时，由于1一丄+lna〉0,即f(-lna)>0,故/(兀)没有零点；a③当aw(0,l)时，1—丄+hia<0,即/(-ln6z)<0.a又/(-2)=rze-4+(6!-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故于(兀)在(一8,-Ina
7、)有一个零点.3设正整数勺满足％〉1—-n,则a/(()=刃约岀切(一()@-％Q>・3由于ln(——l)>—lna,因此/(兀)在(一lna,+oo)有一个零点.a综上，Q的取值范围为(0,1).(2016年全国卷1理科)解：(I)fx)=(x—i)ex+2a(x—l)=(x—l)(ex+2a).(i)设a=0f则f(x)=(x-2)ex,/(兀)只有一个零点.(ii)设a>0,则当x€(-00,1)时，fx)<0；当xe(1,+oo)时,fx)>0.所以于(兀)在(—oo,l)上单调递减，在
8、(1,如)上单调递增.又/(1)=一£,/(2)=a,取b满足b<0且bvlnf,贝i]f(b)>-(b-2)+a(b-1)2=a(b2--/?)>0,22故/(X)存在两个零点.(iii)设a<0,由fx)=0得x=l或兀=ln(-2o).若a>--
9、,则ln(-2(7)<1,故当xe(l,+oo)时，广⑴〉0,因此/⑴在(1,+8)上单调递增.又当兀51时，f(x)<0,所以/(x)不存在两个零点.若a<-—，则ln(20*，故当xe(l,ln(-2a))时，fx)<0；当兀丘血2刃+)o时,
10、广⑴>0・因此/(兀)在(l,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+oo)单调递增.又当x/(2-x2),B
11、J/(2-x2)<0.由于f(2—x2)=—x2e2~X24-6Z(x,—l)2
