高中数学 第四章 导数应用 . 函数的单调性与极值 .. 函数的极值导学案 北师大版选修-

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1、4.1.2　函数的极值学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点一　函数极值的概念函数y＝f(x)的图像如图所示.思考1　函数在点x＝a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？答案　函数在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小.思考2　f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？答案　f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.思考3　函数在x＝b点处的情况呢？答案　函数在点x＝b的函数

2、值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.梳理　(1)如图1，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值.(2)如图2，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.知识点二　求函数y＝f(x)的极值

3、的步骤141.求出导数f′(x).2.解方程f′(x)＝0.3.对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：(1)若f′(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点；(2)若f′(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点；(3)若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点.类型一　判断与求解极值(点)例1　判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果无极值，请说明理由.(1)f(x)＝x3＋4；(2)f(x)＝x3＋x2＋4x.解　(1)f′(x)＝x2.令f′(x)＝0，解得x

4、＝0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)＋0＋f(x)↗无极值↗由上表可知，该函数无极值.(2)因为f′(x)＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3>0，所以函数f(x)在R上为增函数，无极值.反思与感悟　(1)导数值为0的点不一定是函数的极值点，函数在某点的导数值为0是取得极值的必要条件，而不是充分条件.(2)求可导函数f(x)的极值的步骤①确定函数的定义域，求导数f′(x)；②求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根；③利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.特别提醒：在判断f

5、′(x)的符号时，借助图像也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断.14跟踪训练1　求下列函数的极值：(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；(2)f(x)＝＋3lnx.解　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值21↘极小值－6↗所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；当x＝1时，f(x)取极小值－6

6、.(2)函数f(x)＝＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值3↗因此当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值.类型二　已知函数极值求参数例2　已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.答案　2　9解析　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0.∴即解得或当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f

7、(x)在R14上为增函数，无极值，故舍去.当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数.故f(x)在x＝－1处取得极小值，∴a＝2，b＝9.引申探究1.本例的其他条件不变，如果直线y＝k与函数图像有三个交点，求k的取值范围.解　由例2知f(x)极小值＝f(－1)＝0，f(x)极大