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《高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性导学案.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4.1.1导数与函数的单调性【学习目标】1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断（证明）函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.IF问题导学知识点一两数的单调性与导两数正负的关系思考观察下列各图，完成表格内容函数及其图像切线斜率殳正负导数正负单调性(I3/ZQ1)正疋[1,+8）上单调递增i23x7,疋R上单调递增-3-2-10i23x负（0,+®）上单调递减>■=1>■■鱼（0,+®）上单调递减（一8,0）上单调递减-2-101X»梳理一般地，设函数在区I'可（臼，方）上
2、⑴如果尸（方＞0,则f（方在该区间上是增加的.（2）如果raxo,则八无）在该区间上是减少的.导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0>0锐角上升单调递增<0<0锂角下降单调递减知识点二函数的变化快慢与导数的关系思考我们知道导数的符号反映函数y=f{x）的增减情况,怎样反映函数增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答案如图所示，函数在（0,方）或（日，0）内导数的绝对值较大，图像“陡峭”，在（方，+8）或（一8,臼）内导数的绝对值较小，图像“平缓”.梳理一般地，如果一个函数在某一范围内导数的
3、绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图像就“平缓”一些.题型探究类型一原函数与导函数的关系例1己知函数fx）的图像如图所示，则函数尸尸（方的图像可能是图中的（）AC答案c解析rh函数y=fU的图像的增减变化趋势判断函数尸尸（力的正、负情况如下表:X（-1,力）（力，a）（臼，1）7厂3—+—由表可知函数y=F3的图像，当1,b）时，函数图像在*轴下方；当x^lb,日）时,函数图像在/轴上方；当（5,1）时，函数图像在/轴下方.故选C.反思与感悟（1
4、）对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图像.(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢.跟踪训练1己知(劝的图像如图所示，则y=fx)的图像最有可能是如图所示的()答案C解析由尸(0〉0(尸(^)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图像的上升和下降趋势•rti己知可得/的取值范闱和尸(力的正、负，代方的增减变化情况如下表所示:X(—8,0)(0,2)(2,+8)f3+—+Ax)//由表
5、可知fd)在(一8,0)上是增加的，在(0,2)上是减少的，在(2,+8)上是增加的，满足条件的只有C,故选C.类型二单调区间的求解及单调性证明命题角度1求函数的单调区间例2求A%)=3/-21n的单调区间.解A%)=3/-21nx的定义域为(0,4-00).3=6x-~=-X3#—1XitlQ0,解ffrhxo,解f・°•函数f(x)=3%—21nX的单调递增区间为(护，+°°),单调递减区间为(0,反思与感悟求函数的单调区间的步骤(1)确定函数y=fx)的定义域.(2)求导数/=f(方・(3)解不等式f(z
6、)>0,函数在定义域内的解集上为增函数.(4)解不等式尸(力〈0,函数在定义域内的解集上为减函数.e才跟踪训练2求函数=三的单调区间.解函数f(x)的定义域为(一°°,2)U(2,+°°).Xcxxo,z、ex—2—eex~6f3=—l22・因为xe(-co,2)U(2,+8),所以e”>o,(x-2)2>0.由f(x)>0,得x>3,所以函数fd)的单调递增区间为(3,+<-)；由尸(x)<0,得水3.又函数f(x)的定义域为(一8,2)U(2,+8),所以函数f(x)的单调递减区间为(一8,2)和(2,3).
7、命题角度2证明函数的单调性1nx证明由题意，得尸Inx1—Inx例3证明函数A%)=——在区间(0,2)上是单调递增函数.xV0<%<2,AinKin2<1,1-ln%>0,]nx根据导数与函数单调性的关系，可得函数fx)=—在区间(0,2)上是单调递增函数.x反思与感悟利用导数证明不等式的一般步骤(1)构造函数：F(x)=f{x)—g{x).(2)求导：F3=F3—g'3.(3)判断函数的单调性.(4)若Fd)在区间上的最小值大于等于0,则fCONgd)；若F(0在区间上的最大值小于等于0,则/•(x)Wg(
8、x).sinx(ti、跟踪训练3证明：函数才(劝=在区间拧，兀丿上是减少的.证明r3=3=乂胆倚，町，则cos*0,所以/cossinKO,所以尸(%)<0,所以在(守，兀)上是减少的.类型三含参数函数的单调性例4若函数f{x)=kx—xX在区间(1,+°°)上是增加的，则斤的取值范围是.答案［1,+->)解析由于f(劝=«—丄，/'(^)=kx—x在区间仃，+8
